积分上限的函数及其导数

§5.3  微积分基本公式

一、积分上限的函数及其导数

设函数 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在区间http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上连续，并设http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif 为 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上的一点，考察http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在部分区间http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image008.gif 上的积分

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image010.gif

这一特殊形式的积分有两点应该注意：

其一、 因 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image008.gif 连续，该定积分存在。此时，变量http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif “ 身兼两职 ”，既是积分变量，又是积分的上限。

为了明确起见，将积分变量改用其它符号如 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image012.gif 来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image014.gif

其二、 若上限 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上任意变动，则对应于每一个取定http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif ，该定积分有一个对应值。所以，它在http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上定义了一个新的函数， 记作http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image016.gif

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image018.gif

称 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image016.gif 为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。

是否确有这类函数?

观察一个例子,正态曲线 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image020.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image022.gif 上的变上限函数为

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image024.gif

它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m，可分别作出 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image025.gif ， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image027.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image022.gif 上的图象

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image029.jpg

这表明， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image031.gif 确实是一个新的函数。

【定理一】如果函数 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在区间http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上连续， 则变上限函数

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image035.gif

在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上具有导数，且它的导数是

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image037.gif

证明：当上限 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif 获得增量http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image040.gif 时， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image031.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image043.gif 处的函数值为

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image045.jpg

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image047.gif

由此得函数的增量

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image049.gif

据积分中值定理：

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image051.gif   http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image053.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif 与 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image043.gif 之间

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image057.gif

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image059.gif

即： http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image061.gif

定理一表明： http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image031.gif 是 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image064.gif 的一个原函数。因此，我们便有下面原函数的存在性定理。

【定理二】如果函数 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image064.gif 在区间http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上连续， 则函数

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image035.gif

就是 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image067.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上的一个原函数。

定理二的重要意义在于：

其一、 肯定了连续函数的原函数的存在性。

其二、 揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。

二、牛顿-莱布尼兹公式

【定理三】设 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image067.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上连续， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image069.gif 是 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image067.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上的任一原函数

则    http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image071.gif

证明：http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image069.gif 与 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image031.gif 均是http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image067.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上的原函数

则  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image074.gif      (  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image076.gif 为常数， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image078.gif   )

令  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image080.gif ，  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image082.gif

而 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image084.gif

故 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image086.gif

从而 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image088.gif

即 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image090.gif

若令 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image092.gif ， 得： http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image094.gif

为了方便，今后记 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image096.gif 或 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image098.gif 。

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image100.jpg

最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image069.gif 是 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在区间http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image004.gif 上的原函数。

【例1】计算 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image105.gif  与  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image107.gif

解：  http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image109.gif

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image111.gif

注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image105.gif ，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。

【例2】设 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image002.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image114.gif 内连续，且http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image116.gif ，证明函数

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image118.gif

在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image120.gif 内为单调增加函数。

证明：

   http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image122.gif

由假设， 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image124.gif 上 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image126.gif ， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image128.gif ， 故

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image130.gif  ，     http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image132.gif ，

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image134.gif

从而， http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image069.gif 在 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image120.gif 上是单增的。

【例3】求极限 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image137.gif  

解：这是一个 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image139.gif 型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image141.gif

它是以 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image143.gif 为上限的函数， 作为http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image006.gif 的函数， 它可视作以http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image146.gif 为中间变量的复合函数， 故

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image148.gif

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image150.gif

注明：试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image152.gif 不具有有限形式的原函数。

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公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨， 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。

这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此，列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。

定积分的符号 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image156.gif 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了 http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image158.gif 。显然，符号http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image160.gif 从外形到含义均表达了“求和”的涵义，堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：

http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/5.3%20weijifenjibengongshi.files/image162.gif

彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。

我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成：勾三股四弦五，即：

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在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。