整除规律 – 整除和素数 – Mathigon

有些许的不同规则能够简单的检测一个数是否能被另一个数整除。在本节我们将看看其中的一些规则…

每个数都能被1整除。为了检测一个数是否能被2整除，我们只需简单的判断它是否为偶数： 任何以0，2，4，6，或8结尾的数。

为了检测一个数是否能被5整除，仅仅只要判断它的末位数是否为0或5。

为什么2和5的规律如此简单? 这个原因和我们的数制(进制)有关。现在这个数制的基(进制) 是10，这意味这一个数里的每位数都是其位于右边相邻位时的10倍。如果我们用数6382举例，

现在我们能够将一个数的末位数从其它的位数里分离开

2和5两个都是10的因子，所以它们整除 abc × 10, 不管__{.m-red}a__, b 和 c 的值是多少。因此我们仅仅只 需检测最后一位数: 如果 d 能够被2整除那么也能被2整除。 如__{.m-green}d__能被5整除那么该数就能被5整除。

最简单的是被10整除的规则: .

不幸的是4不能整除10，所以我们不能通过最后一位数来检测 - 但是 4 能 整除 100, 所以我们只要稍微修改上面的规则。现在我们写成 abcd = ab × 100 + cd. 我们知道4总能整除__{.m-red}ab × 100__, 所以我们只需要看看末位数能否被4整除.

例如，24 能被4整除，所以__{.m-red}2735__**{.m-green}24** 被4整除, 而 18 不能被4整除所以 194718 被4整除。

被8整除的规则更加复杂点，因为100也不能被8整除。因而我们要继续增大数字到 然后看看末位数。

例如，120 能被8整除, 所以__{.m-red}271__**{.m-green}120** 能够被8整除。

被3整除的规则愈加的复杂，3不能整除10，而且它也不能整除100，甚至1000，甚至10的 任意次方的数。简单的查看数的末几位也无效。

我们需要另一种方法：数的__位和__, 就是简单的把一个数每位上的数字相加。例如， ${13×n+123}的位和是 ${digitSumString(123+13×n)} = ${digitSum(123+13×n)} , 因此3524的位和是.

这里我们已经把所有3的倍数高亮了。你可以看到它们的位和总是。

因此，判断一个数是否能被3整除，你只需计算它的位和， 然后判断计算结果是否也能被3整除。

下一个，让我们看看9的倍数:

看起来，所有能被9整除的数它的位和能被9整除。 例如，4752的位和是, 所以4752 被9整除。

当然，被3和9整除的数具有的奇特模式肯定有什么原因 – 就像之前的和我们的数基(10进制) 相关。 正如我们知道，写下数__{.m-red}6__**{.m-blue}3**__{.m-green}8__**{.m-yellow}4** 的同时也是可以这样表示:

6 × 1000 + 3 × 100 + 8 × 10 + 4.

我们能将每个乘积拆分成两个部分:

6 × 999 + 6 + 3 × 99 + 3 + 8 × 9 + 8 + 4.

当然, 9, 99, 999, 诸如等等都总是能被3 (或被9)整除。剩下的事就是：检测所有那些剩下的是否也能被3(或9)整除。

6 + 3 + 8 + 4

这正好是数位和! 所以如果它的数位和是3的一个倍数, 而且我们知道其它每部分也是3的倍数, 那么其结果也一定是3的一个倍数。

目前我们还是跳过了数字6 – 但是我们已经完成了所有的难搞的工作。记住一点 6 = 2 × 3.

为了检测一个数是否能被6整除我们只用检测它是否能被2整除被3整除。 注意到这对6有效，但是不一定对 任意 两个数的乘积数有效。关于那我们稍后再论…

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