三角函数

2024-07-09 07:43| 来源: 网络整理| 查看: 265

三角函数------和差化积公式及证明引言正文结果推导 sin ⁡ a + sin ⁡ b \sin{a} + \sin{b} sina+sinb 的推导

引言

这里简单记录一下三角函数中的和差化积公式及证明。

正文结果函数类别诱导公式结果 sin ⁡ \sin sin sin ⁡ a + sin ⁡ b \sin{a} + \sin{b} sina+sinb 2 sin ⁡ a + b 2 cos ⁡ a − b 2 2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}} 2sin2a+bcos2a−b sin ⁡ \sin sin sin ⁡ a − sin ⁡ b \sin{a}-\sin{b} sina−sinb 2 sin ⁡ a − b 2 cos ⁡ a + b 2 2\sin{\frac{a-b}{2}}\cos{\frac{a+b}{2}} 2sin2a−bcos2a+b cos ⁡ \cos cos cos ⁡ a + cos ⁡ b \cos{a} + \cos{b} cosa+cosb 2 cos ⁡ a + b 2 cos ⁡ a − b 2 2\cos {\frac{a + b}{2}} \cos{\frac{a - b}{2}} 2cos2a+bcos2a−b cos ⁡ \cos cos cos ⁡ a − cos ⁡ b \cos{a}-\cos{b} cosa−cosb − 2 sin ⁡ a + b 2 sin ⁡ a − b 2 -2\sin{\frac{a + b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}} −2sin2a+bsin2a−b 推导 sin ⁡ a + sin ⁡ b \sin{a} + \sin{b} sina+sinb 的推导

我们从三角函数------两角和公式出发。我们有： sin ⁡ ( c + d ) = sin ⁡ c cos ⁡ d + sin ⁡ d cos ⁡ c sin ⁡ ( c − d ) = sin ⁡ c cos ⁡ d − sin ⁡ d cos ⁡ c \begin{align} \sin\left ( c+d \right ) = \sin{c}\cos{d}+\sin{d}\cos{c} \tag{1} \\ \sin\left ( c-d \right ) = \sin{c}\cos{d}-\sin{d}\cos{c} \tag{2} \end{align} sin(c+d)=sinccosd+sindcoscsin(c−d)=sinccosd−sindcosc(1)(2) 通过观察可得： sin ⁡ c cos ⁡ d = 1 2 [ sin ⁡ ( c + d ) + sin ⁡ ( c − d ) ] (3) \sin{c}\cos{d} = \frac{1}{2}\left [ \sin\left ( c+d \right ) + \sin\left ( c-d \right ) \right ] \tag{3} sinccosd=21[sin(c+d)+sin(c−d)](3) 此时，我们令： 2 c = a + b → c = a + b 2 2 d = a − b → d = a − b 2 \begin{align} 2 c = a + b \rightarrow c = \frac{a+b}{2} \tag{4} \\ 2 d = a - b \rightarrow d = \frac{a-b}{2} \tag{5} \end{align} 2c=a+b→c=2a+b2d=a−b→d=2a−b(4)(5) 将（4）式与（5）式带入（3）式中可得： 2 sin ⁡ ( a + b 2 ) cos ⁡ ( a − b 2 ) = sin ⁡ a + sin ⁡ b sin ⁡ a + sin ⁡ b = 2 sin ⁡ ( a + b 2 ) cos ⁡ ( a − b 2 ) \begin{align} 2\sin{\left ( \frac{a+b}{2} \right ) }\cos{\left ( \frac{a-b}{2} \right ) } &= \sin{a} + \sin{b} \tag{6} \\ \sin{a} + \sin{b} &= 2\sin{\left ( \frac{a+b}{2} \right ) }\cos{\left ( \frac{a-b}{2} \right ) } \tag{7} \end{align} 2sin(2a+b)cos(2a−b)sina+sinb=sina+sinb=2sin(2a+b)cos(2a−b)(6)(7) 其余三项的证明同理可得，这里暂时不再给出证明，有兴趣的小伙伴后续可自行尝试。后续如果作者时间充裕，也许会继续添加。

如果大家觉得有用，就请点个赞吧~

【本文地址】

公司简介

联系我们