如何在 COMSOL Multiphysics® 中模拟不同类型的阻尼

在之前的博客文章中，我们介绍了产生结构阻尼的各种物理现象，并讨论了如何用数学的方法表示阻尼。今天，我们继续研究如何在有限元模型中实际添加阻尼。

在执行结构动力学分析时，模拟阻尼可能是一个重要而且困难的任务。

振动声学微镜的瞬态分析，考虑了黏滞阻尼和热阻尼。

下面，我们将概述使用 COMSOL Multiphysics® 软件在有限元分析中模拟阻尼效应时需要考虑的因素。

在 COMSOL Multiphysics 中，可以求解含阻尼或无阻尼的特征频率问题。只要模型中存在任何损耗效应，都会被考虑在内，并且计算出的特征频率为复数。这个过程是自动运行的，因此我们无需在求解器中添加任何特殊设置。

不含阻尼（上表）和含阻尼（下表）模型中的特征频率。

在大多数情况下，当包含阻尼时，特征频率和特征模都是复数值。复数模的振型是指，在自由振动下，相角可提供有关结构中不同点之间的相移信息。即，如果两个点的位移具有不同的相角，那么它们将不会同时达到峰值。

在大多数情况下，阻尼对振型和特征频率的影响很小。在特征频率分析中包括阻尼的原因是需要估计各种谐振的衰减量。

当激励频率位于固有频率附近（例如在 ±50％ 内）时，阻尼模型至关重要，如之前博客文章中的响应曲线所示。此时，我们必须选择合适的阻尼值。当接近共振频率时，结果完全受阻尼控制，因此，损耗系数选择 0.01 或 0.02，意味着最终的应力预测相差 2 倍。

在时域分析中，除了模拟波传播或当载荷的时间历程使得某些共振被强烈激发外，大多数情况下阻尼对结果产生的影响是有限的。

但是，时域分析中阻尼还有一个重要作用：可以稳定时间步长。通常结构中会产生杂散的、微弱的波，除非适当地抑制它们，否则时间步长可能会变得非常小，这并不必要。为了抑制这样的波，在高频中引入阻尼模型是有益的。

在响应谱分析中，阻尼是设计响应谱的一部分，因此不应对其进行显式模拟。单个阻尼值用于表示整个结构。

有限元离散运动方程的矩阵形式为

其中，M 是质量矩阵，C 是黏性阻尼矩阵，K 是刚度矩阵，u 是位移矢量，右边的f 是力矢量。

在给定几何结构和基本材料参数（例如质量密度和杨氏模量）的情况下，计算质量和刚度矩阵。阻尼矩阵具有多种不同的形式。不同类型的阻尼通常还可以组合。

在假定激励和响应为谐波的频域中，对应的方程为

式中，位移矢量和力矢量是复数值。

阻尼损耗因子是在频域分析中描述材料损耗的主要方法。如上一篇博文所述，阻尼损耗因子的数学描述由复数值乘以刚度组成。

在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以通过材料模型下的阻尼 子节点添加阻尼损耗因子。对于线性弹性材料，甚至可以为本构矩阵中的不同单元添加单独的损耗因子。

输入阻尼损耗因子的值。

实际上，损耗因子具有一定的频率依赖性是很常见的。在频率响应分析中，可以很容易地将损耗因子作为内置变量 freq 的函数。我们可以使用下面显示的表达式，也可以参考任何类型的频率函数。

频率依赖的损耗因子。

假设所有地方都使用了相同的损耗因子，用于了解损耗因子阻尼如何进入方程式系统。因此，阻尼矩阵可以表示为

运动方程变为

在黏滞阻尼模型中，固体材料中的应力与应变率成正比。在最一般的情况下，联系应力和应变率的本构张量可以包含 21 个独立的常数。由于阻尼难以测量和量化，几乎无法得知其数值，因此我们更常使用各向同性黏滞阻尼模型。

COMSOL Multiphysics 中固体力学 接口中的黏滞阻尼使用两个常数：

前者具有一个与体积变化成正比的阻尼，后者具有一个与振型变化成正比的阻尼。

黏性应力张量可以写成

式中，epsilon_v 是体积应变，{oldsymbol epsilon}_d 是应变张量的偏差部分。

由于阻尼应力与应变率成正比，因此在较高的频率下它将更加明显。

黏滞阻尼是阻尼 节点中的另一个选项。

输入黏滞阻尼。

黏滞阻尼可用于任何动态研究类型。

瑞利阻尼是生成阻尼矩阵的简单方法，它是质量和刚度矩阵的纯线性组合，

该阻尼模型与物理阻尼过程没有直接联系。引入它是因为它提供了一个阻尼矩阵，该矩阵可以被来自无阻尼特征频率问题的特征模对角化，从而在不同模之间实现完全的动态解耦。

但是，刚度矩阵项（β阻尼）也可以看作与应变率成正比。实际上，纯 β 阻尼与黏滞阻尼有关

其中，K 和G 分别为弹性体积模量和剪切模量。

与黏滞阻尼一样，β阻尼在频率较高时阻尼更大。相反，在低频时，质量比例项α的阻尼很大。由于它作用于结构的速度，因此会抑制刚体运动。

材料模型下的阻尼子节点中也包含了瑞利阻尼。这样我们可以自由地创建阻尼类型（包含所有的瑞利阻尼）。为了使阻尼矩阵在系统水平上是质量矩阵和阻尼矩阵的线性组合，在所有阻尼 节点中，瑞利阻尼参数必须相同。如果不相同，则该特性仅在单元水平是正确的。

我们可以通过两种方式添加瑞利阻尼参数，既可以直接输入 α 和 β，也可以通过两种不同频率的阻尼比来添加。

在“阻尼”子节点中将瑞利阻尼输入材料模型。

有些材料模型包含固有损耗，其中最有趣的可能是黏弹性模型。使用这种材料模型时，通常会具有很大的阻尼。大多数情况下，我们不会将其与同一域上的阻尼节点结合使用。

选择黏弹性材料模型。

通过热膨胀 多物理场耦合中的设置，可以将热弹性阻尼直接引入模型中。

耦合传热和结构分析中的热弹性阻尼。

引入热弹性阻尼可以将与应力变化率成正比的热源项添加到热平衡方程中，即

式中，T 是温度，oldsymbol sigma 是应力张量， oldsymbol alpha 是热膨胀张量系数。

模态叠加是求解线性结构动力学问题的一种非常有效的技术。当将模态叠加与阻尼一起使用时，需要注意一些事项。

首先，应使用无阻尼问题进行初始特征频率分析，然后仅在模态叠加步骤中添加阻尼。确保这点的最简便方法是在每个研究步骤中的“物理场和变量选择”部分设置。

特征频率研究（左）和后续模态叠加研究（右）的研究步骤设置。

模态叠加允许所有类型的阻尼贡献，这并不夸张。在 COMSOL Multiphysics 的模态求解器中，并没有假定特征模解耦。这意味着与许多其他模态叠加方法相比，我们可以在COMSOL中求解更大范围的阻尼问题。

除了各种物理特性提供的阻尼之外，我们还可以为每个特征模提供阻尼比，即所谓的模态阻尼。如果我们从经验中知道某些模态的阻尼比其他模态更大，则模态阻尼特别有用。当不同的物理现象连接到振型时，就属于这种情况。可以直接在模态求解器的设置中设定模态阻尼。

输入模态阻尼。

模态阻尼可以被添加到任何其他阻尼的贡献中。

当需要模拟由于声发射或锚固损耗引起的损耗时，为模型配备边界条件非常重要。该边界条件允许射出的波消失而没有反射。COMSOL Multiphysics 在此处提供了多个选项，具体取决于所涉及的物理场接口以及分析是在时域还是在频域。

在频域中，完美匹配层（PML）可以表示边界条件趋向无穷远。PML 公式从根本上衰减了输出波，因此反射的能量非常小，它可用于许多不同的物理场接口。由于输出波中的能量会丢失，因此在分析中将存在阻尼。

PML 是使用计算域外部的少量单元层模拟的。

将域定义为 PML。

固体力学 接口提供了一种特殊的边界条件，称为低反射边界。它的作用与PML相同：避免波反射。当波以倾斜角度入射到边界时，使用低反射边界节点 的效果不如 PML，但它具有两个优点：

低反射边界节点。

模拟波向无穷远传播的另一种方法是使用声波的边界元方法（BEM）公式。

如果摩擦是阻尼的重要来源，通常我们将不得不进行一些工程上的近似计算。理论上，我们可以通过模拟包括摩擦在内的完全接触来求解时间依赖的问题。然而，在大多数情况下，这将非常耗费计算机资源。

我们可以使用弹性薄层代替接触区，并为其配备黏性或损耗因子阻尼。然而，问题是如何估计剪切刚度和相应的损耗因子。估计这些参数的通用方法是目前还在研究的主题，我们可能必须对关节进行初步的局部分析来了解其特性。

除了材料模型外，还有许多其他功能可以为模型添加阻尼。例如：

在结构动力学中模拟阻尼是定义模型必不可少的部分。COMSOL Multiphysics 提供了多种描述阻尼的选项。但是，结构中材料和组件的正确数据往往较难获取。

结构力学模块可用于模拟阻尼，单击下方按钮，了解结构力学模块的功能和特征：