数字滤波器设计之一：巴特沃斯（Butterworth）滤波器

2023-10-07 17:04| 来源: 网络整理| 查看: 265

我们常说的经典滤波器是根据傅里叶分析和变换设计出来的，只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过。按照最佳逼近特性或者滤波通带特性分类，主要为巴特沃斯滤波器（Butterworth）、切比雪夫滤波器（Chebyshev）、贝塞尔滤波器（Bessel）和椭圆滤波器（Elliptic）四种。每种MATLAB都有相应的函数，用起来也比较方便，但是却缺少C/C++的程序，于是自己仔细研究了每种滤波器的特性和原理，并且部分滤波器实现了C语言的代码化，接下来的时间会对这些滤波器的原理和C语言的实现进行介绍。

该系列均以低通滤波器为原型来介绍，其他类型的滤波器可以由低通滤波器通过频率变换转换得到，这里不过多介绍。低通滤波器的主要性能指标有以下几个：通带截止频率fp、阻带截止频率fs、通带衰减 ( Ap)、阻带衰减 ( As) 以及归一化频率时需要用到的-3dB的转折频率fc。

1. Butterworth滤波器原理

Butterworth滤波器因其在通带内的幅值特性具有最大平坦的特性而闻名，是四种经典滤波器中最简单的，巴特沃斯滤波器只需要两个参数表征，滤波器的阶数N和-3dB处的截止频率 $\Omega _c$ 。其幅度平方函数为：

$\bg_white \left | \mathrm{H}_a\left ( j\Omega \right ) \right |^{2}=\frac{1}{1+\left ( \frac{\Omega }{\Omega _c} \right )^{2N}}$

$\bg_white A_{p}=10lg\left ( 1+\varepsilon _{p}^{2} \right ),A_{s}=10lg\left ( 1+\varepsilon _{s}^{2} \right ),A\left ( \Omega \right )=10lg\left ( 1+\left ( \frac{\Omega }{\Omega _c} \right )^{2N} \right )$

N是滤波器的阶数，从幅度平方函数可以看出，N阶滤波器有2N个极点，而且这2N个极点均布在一个圆上，圆的半径为，称之为Butterworth圆，Butterworth滤波器系统是一个线性系统，要使其稳定，其极点必须位于S平面的左半平面，所以取左半平面内的N个极点作为滤波器的极点，滤波器就是稳定的了，求出极点之后，计算模拟滤波器的系数as、bs，然后通过双线性变换（不懂得自行查书）由模拟域到数字域，求出系数az和bz 。最后通过差分方程就可以计算滤波结果了。

$\bg_white y(n)= \sum_{k=0}^{\propto }h(k)x(n-k)=-\sum_{k=1}^{M}a_{k}y(n-k)+\sum_{k=0}^{N}b_{k}x(n-k)$

2. C语言实现

A．求阶数

公式为：

$N=\frac{1}{2}\frac{lg\left ( \frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1A_p}-1} \right )}{lg\left ( \frac{\Omega _s}{\Omega _p} \right )}$

代码：

N = ceil(0.5*( log10 (( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1)/ ( pow (10, Passband_attenuation/10) - 1)) / log10 (Stopband/Passband) ));

B．求极点

公式：

代码：

for(k = 0;k

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