泛函分析笔记(九)Banach 空间中的级数

如果 ( X , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ) (X,||\cdot||) (X,∣∣⋅∣∣) 是赋范向量空间， ( x n ) n = 1 ∞ (x_n)_{n=1}^\infty (xn​)n=1∞​ 是向量 x n ∈ X x_n\in X xn​∈X 的序列，则 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty x_n ∑n=1∞​xn​ 是一个级数，对每个整数 k ≥ 1 k\ge 1 k≥1 称 s k : = ∑ n = 1 k x n s_k:=\sum_{n=1}^k x_n sk​:=∑n=1k​xn​ 是级数的前k项部分和。如果序列 ( s k ) k = 1 ∞ (s_k)_{k=1}^\infty (sk​)k=1∞​ 在X中收敛，则称级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty x_n ∑n=1∞​xn​ 为收敛的，有 ∑ n = 1 ∞ x n = s \sum_{n=1}^\infty x_n = s ∑n=1∞​xn​=s s为级数的和。

emmm似乎和高数里面的级数没什么区别

收敛性： 如果级数满足 ∑ n = 1 ∞ ∣ ∣ x n ∣ ∣ < ∞ \sum_{n=1}^\infty ||x_n||