（五）矩阵的逆

对于矩阵A，如果存在矩阵B使得 AB=BA=I （其中I是单位阵 identity matrix），那么就称B是A的逆，也记作 B=A^{-1}

我们知道一个矩阵可以看作是一个线性变换，那么逆矩阵对应的就是逆变换。比如 A = \left| \begin{matrix} 0& 1\\ -1& 0\\ \end{matrix} \right| ，那么 Ax 可以把向量 x 逆时针旋转 90 ^\circ。其逆矩阵 A^{-1}= \left| \begin{matrix} 0& -1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right| ，代表的是顺时针旋转 90^\circ 。 AA^{-1}=I 得到单位阵，表示什么都不做，因为正反抵消了。

假如 A_{m\times n} 不是方阵（假设m

如图所示，我们要把单位阵I的前两行交换顺序，那么就可以得到右边这个等式。然后再把单位阵I约去，自然就得到了我们想要的结果

同理，下面是三个例子对应的初等矩阵：

在求解线性方程组是否有解的时候，我们会把系数矩阵/增广矩阵 通过一系列的初等行变换 转换成行阶梯阵。那么这一系列的初等行变换就可以等价于依次左乘对应的初等矩阵

在上个问题中，我们分析了，矩阵A可逆需要的条件是A满秩，那么把矩阵A进行初等变换得到的阶梯阵一定是一个单位阵。也就是说如果A可逆，那么其初等变换得到的阶梯阵是单位阵，即 E_{k}E_{k-1}....E_1A=I

又有 A^{-1}A=I ，那么可以很自然的得到 A^{-1}=E_kE_{k-1}....E_1

因此求解 A^{-1} 的问题就可以转化成怎么求出这些初等矩阵的乘积。其实只要模拟一下求阶梯阵的过程，因为在求阶梯阵过程就是在乘这些初等矩阵。具体的实现方式是： E_kE_{k-1}....E_1 [A|I]=[I|A^{-1}] 和增广矩阵比较类似

把A和单位阵I并在一起，同时进行初等行变换（只能是初等行变换，不能列变换，因为列变换会把A和I的向量混在一起，没法区分了）。在A变成I的时候，那么I就会变成 A^{-1} ，下面是一个例子

扩展一下，如果我们有矩阵A和矩阵C，要求计算出 A^{-1}C 的结果。一种做法是先按照上面的方法把 A^{-1} 求出来再和 C 相乘。其实也没必要这么做，我们可以模仿上面的做法，把A和C放在一起形成一个增广矩阵 [A|C]，再进行初等变换，把A变成I的时候，C就变成 A^{-1}C 了

参考（P15-P18）