关于线性方程组只有零解和有非零解的理解

行列式只有零解 (无解)： 如果线性方程组的主矩阵的行列式等于零（行列式 |A|=0），那么我们不能保证方程组有唯一解。此时，我们需要进一步检查增广矩阵。如果增广矩阵经过高斯消元或高斯-若尔当消元后，得到一个矛盾方程（例如 0=1），那么这个线性方程组就是不相容的，没有解。这种情况下，我们称行列式只有零解或无解。

行列式有非零解 (有解)： 如果线性方程组的主矩阵的行列式不等于零（行列式 |A|≠0），那么我们可以确定方程组存在唯一解或有无穷多解。具体情况如下：

a) 唯一解： 如果行列式 |A|≠0，且矩阵A是一个方阵，那么线性方程组存在唯一解。这是因为非零行列式意味着矩阵A是可逆的，我们可以直接使用A的逆矩阵（记为A^-1）来求解方程组。解可以通过以下公式计算：x = A^-1 * b，其中x是未知数向量，b是线性方程组右侧的常数向量。

b) 无穷多解： 如果行列式 |A|≠0，但矩阵A不是一个方阵（即行数和列数不相等），这种情况下，线性方程组可能有无穷多解。这通常发生在自由变量（即可以取任意值的变量）的情况下。通过对增广矩阵进行高斯消元或高斯-若尔当消元，我们可以找到自由变量，并表示解集合为一个参数化解的形式。

总之，根据线性方程组的主矩阵的行列式，我们可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。如果行列式等于零，我们需要进一步检查增广矩阵以确定是否有解。如果行列式不等于零，我们可以确定方程组存在唯一解（当A是方阵时）或无穷多解（当A不是方阵时）。