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用python做時間序列預測九：ARIMA模型簡介
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本篇介紹時間序列預測常用的ARIMA模型，通過了解本篇內容，將可以使用ARIMA預測一個時間序列。 什麼是ARIMA？ ARIMA是'Auto Regressive Integrated Moving Average'的簡稱。 ARIMA是一種基於時間序列歷史值和歷史值上的預測誤差來對當前做預測的模型。 ARIMA整合了自迴歸項AR和滑動平均項MA。 ARIMA可以建模任何存在一定規律的非季節性時間序列。 如果時間序列具有季節性，則需要使用SARIMA(Seasonal ARIMA)建模，後續會介紹。 ARIMA模型引數ARIMA模型有三個超引數：p,d,q p AR(自迴歸)項的階數。需要事先設定好，表示y的當前值和前p個歷史值有關。 d 使序列平穩的最小差分階數，一般是1階。非平穩序列可以通過差分來得到平穩序列，但是過度的差分，會導致時間序列失去自相關性，從而失去使用AR項的條件。 q MA(滑動平均)項的階數。需要事先設定好，表示y的當前值和前q個歷史值AR預測誤差有關。實際是用歷史值上的AR項預測誤差來建立一個類似歸回的模型。 ARIMA模型表示 AR項表示 一個p階的自迴歸模型可以表示如下：
c是常數項，εt是隨機誤差項。
對於一個AR(1)模型而言：
當 ϕ1=0 時,yt 相當於白噪聲；
當 ϕ1=1 並且 c=0 時,yt 相當於隨機遊走模型；
當 ϕ1=1 並且 c≠0 時,yt 相當於帶漂移的隨機遊走模型；
當 ϕ1|z|’ 列下的P-Value值遠大於0.05，則該項應該去掉，比如上圖中的ma部分的第二項，係數是-0.0010,P-Value值是0.998,那麼可以重建模型為ARIMA(1,1,1)，從下圖可以看到，修改階數後的模型的AIC等資訊準則都有所降低：
通常會檢查模型擬合的殘差序列，即訓練資料原本的序列減去訓練資料上的擬合序列後的序列。該序列越符合隨機誤差分佈(均值為0的正態分佈)，說明模型擬合的越好，否則，說明還有一些因素模型未能考慮。 python實現： # Plot residual errors residuals = pd.DataFrame(model_fit.resid) fig, ax = plt.subplots(1,2) residuals.plot(title="Residuals", ax=ax[0]) residuals.plot(kind='kde', title='Density', ax=ax[1]) plt.show()
除了在訓練資料上擬合，一般都會預留一部分時間段作為模型的驗證，這部分時間段的資料不參與模型的訓練。 from statsmodels.tsa.stattools import acf # Create Training and Test train = df.value[:85] test = df.value[85:] # Build Model # model = ARIMA(train, order=(3,2,1)) model = ARIMA(train, order=(1, 1, 1)) fitted = model.fit(disp=-1) # Forecast fc, se, conf = fitted.forecast(15, alpha=0.05) # 95% conf # Make as pandas series fc_series = pd.Series(fc, index=test.index) lower_series = pd.Series(conf[:, 0], index=test.index) upper_series = pd.Series(conf[:, 1], index=test.index) # Plot plt.figure(figsize=(12,5), dpi=100) plt.plot(train, label='training') plt.plot(test, label='actual') plt.plot(fc_series, label='forecast') plt.fill_between(lower_series.index, lower_series, upper_series, color='k', alpha=.15) plt.title('Forecast vs Actuals') plt.legend(loc='upper left', fontsize=8) plt.show()
這是在ARIMA(1,1,1)下的預測結果，給出了一定的序列變化方向，看上去還是可以的。不過所有的預測值，都在真實值以下，所以還可以試試看有沒有別的更好的階陣列合。
其實如果嘗試用ARIMA(3,2,1)會發現預測的更好：
通過預測結果來推斷模型階數的好壞畢竟還是耗時耗力了些，一般可以通過計算AIC或BIC的方式來找出更好的階陣列合。pmdarima模組的auto_arima方法就可以讓我們指定一個階數上限和資訊準則計算方法，從而找到資訊準則最小的階陣列合。 from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA import pmdarima as pm df = pd.read_csv('https://raw.githubusercontent.com/selva86/datasets/master/wwwusage.csv', names=['value'], header=0) model = pm.auto_arima(df.value, start_p=1, start_q=1, information_criterion='aic', test='adf', # use adftest to find optimal 'd' max_p=3, max_q=3, # maximum p and q m=1, # frequency of series d=None, # let model determine 'd' seasonal=False, # No Seasonality start_P=0, D=0, trace=True, error_action='ignore', suppress_warnings=True, stepwise=True) print(model.summary()) # Forecast n_periods = 24 fc, confint = model.predict(n_periods=n_periods, return_conf_int=True) index_of_fc = np.arange(len(df.value), len(df.value)+n_periods) # make series for plotting purpose fc_series = pd.Series(fc, index=index_of_fc) lower_series = pd.Series(confint[:, 0], index=index_of_fc) upper_series = pd.Series(confint[:, 1], index=index_of_fc) # Plot plt.plot(df.value) plt.plot(fc_series, color='darkgreen') plt.fill_between(lower_series.index, lower_series, upper_series, color='k', alpha=.15) plt.title("Final Forecast of WWW Usage") plt.show()
從輸出可以看到，模型採用了ARIMA(3,2,1)的組合來預測，因為該組合計算出的AIC最小。 如何自動構建季節性ARIMA模型？如果模型帶有季節性，則除了p,d,q以外，模型還需要引入季節性部分：
注意這裡的stepwise引數，預設值就是True，表示用stepwise algorithm來選擇最佳的引數組合，會比計算所有的引數組合要快很多，而且幾乎不會過擬合，當然也有可能忽略了最優的組合引數。所以如果你想讓模型自動計算所有的引數組合，然後選擇最優的，可以將stepwise設為False。 如何在預測中引入其它相關的變數？在時間序列模型中，還可以引入其它相關的變數，這些變數稱為exogenous variable(外生變數，或自變數)，比如對於季節性的預測，除了之前說的通過加入季節性引數組合以外，還可以通過ARIMA模型加外生變數來實現，那麼這裡要加的外生變數自然就是時間序列中的季節性序列了(通過時間序列分解得到)。需要注意的是，對於季節性來說，還是用季節性模型來擬合比較合適，這裡用外生變數的方式只是為了方便演示外生變數的用法。因為對於引入了外生變數的時間序列模型來說，在預測未來的值的時候，也要對外生變數進行預測的，而用季節性做外生變數的方便演示之處在於，季節性每期都一樣的，比如年季節性，所以直接複製到3年就可以作為未來3年的季節外生變數序列了。 def load_data(): """ 航司乘客數時間序列資料集 該資料集包含了1949-1960年每個月國際航班的乘客總數。 """ from datetime import datetime date_parse = lambda x: datetime.strptime(x, '%Y-%m-%d') data = pd.read_csv('https://www.analyticsvidhya.com/wp-content/uploads/2016/02/AirPassengers.csv', index_col='Month', parse_dates=['Month'], date_parser=date_parse) # print(data) # print(data.index) ts = data['value'] # print(ts.head(10)) # plt.plot(ts) # plt.show() return ts,data # 載入時間序列資料 _ts,_data = load_data() # 時間序列分解 result_mul = seasonal_decompose(_ts[-36:], # 3 years model='multiplicative', freq=12, extrapolate_trend='freq') _seasonal_frame = result_mul.seasonal[-12:].to_frame() _seasonal_frame['month'] = pd.to_datetime(_seasonal_frame.index).month # seasonal_index = result_mul.seasonal[-12:].index # seasonal_index['month'] = seasonal_index.month.values print(_seasonal_frame) _data['month'] = _data.index.month print(_data) _df = pd.merge(_data, _seasonal_frame, how='left', on='month') _df.columns = ['value', 'month', 'seasonal_index'] print(_df) print(_df.index) _df.index = _data.index # reassign the index. print(_df.index) build_arima(_df,_seasonal_frame,_data) # SARIMAX Model sxmodel = pm.auto_arima(df[['value']], exogenous=df[['seasonal_index']], start_p=1, start_q=1, test='adf', max_p=3, max_q=3, m=12, start_P=0, seasonal=False, d=1, D=1, trace=True, error_action='ignore', suppress_warnings=True, stepwise=True) sxmodel.summary() # Forecast n_periods = 36 fitted, confint = sxmodel.predict(n_periods=n_periods, exogenous=np.tile(seasonal_frame['y'].values, 3).reshape(-1, 1), return_conf_int=True) index_of_fc = pd.date_range(data.index[-1], periods = n_periods, freq='MS') # make series for plotting purpose fitted_series = pd.Series(fitted, index=index_of_fc) lower_series = pd.Series(confint[:, 0], index=index_of_fc) upper_series = pd.Series(confint[:, 1], index=index_of_fc) # Plot plt.plot(data['y']) plt.plot(fitted_series, color='darkgreen') plt.fill_between(lower_series.index, lower_series, upper_series, color='k', alpha=.15) plt.title("SARIMAX Forecast of a10 - Drug Sales") plt.show()以下是結果比較: 選擇ARIMA(3,1,1)來預測：
選擇季節性模型SARIMA(3,0,1),(0,1,0,12)來預測:
選擇帶季節性外生變數的ARIMA(3,1,1)來預測:
ok,本篇就這麼多內容啦~，下一篇將基於一個實際的例子來介紹完整的預測實現過程，感謝閱讀O(∩_∩)O。
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與非季節性模型的區別在於，季節性模型都是以m為固定週期來做計算的，比如D就是季節性差分，是用當前值減去上一個季節週期的值，P和Q和非季節性的p,q的區別也是在於前者是以季節視窗為單位，而後者是連續時間的。
上節介紹的auto arima的程式碼中，seasonal引數設為了false，構建季節性模型的時候，把該引數置為True，然後對應的P，D，Q,m引數即可，程式碼如下：
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