为什么arctanx的值域是（

2022-12-22 04:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

先来看反函数的定义：

设函数 y=f(x) 的定义域为 D ，值域为 R_{y} ，若对 \forall y\in R_{y} ，有唯一确定的 x\in D ，使得 y=f(x) ，则记为 x=f^{-1}(y) ，称其为函数 y=f(x) 的反函数.从定义出发，可知不是每个函数都有反函数. 严格单调函数（即当 x_{1}x_{2} 时 f(x_{1})>f(x_{2})）一定有反函数.反函数x=f^{-1}(y)的图像与原函数的图像在同一直角坐标系下重合，有时也将 y=f(x) 的反函数x=f^{-1}(y)写成 y=f^{-1}(x) ，在同一直角坐标系中 y=f(x) 和 y=f^{-1}(x) 的图形关于直线 y=x 对称.

回到问题， f(x)=tan(x) 的图像在其定义域 D=\{x|x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\} 内不是单调的，不满足反函数的定义，所以我们选取它的一个单调区间即 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) 进行研究.

f(x)=tan(x)的图像

在 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) 上 y=tan(x) 为单调递增函数，于是我们可以写出它的反函数 x=arctan(y) ，其图像是这样的：

x=arctan(y)的图像

再将其改写成 y=arctan(x)

y=arctan(x)的图像

很容易得到 y=arctan(x) 的定义域是 (-\infty,+\infty) ，值域是 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) .

最后再来看一下 x=arctan(y) 和 y=arctan(x) 在同一直角坐标系下的图像：

x=arctan(y)和y=arctan(x)的图像关于y=x对称

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