想问反三角函数这个知识点，为什么反正弦函数的值域是[－π/2，π/2]，不能是[π/2，3π/2]？

谢邀。这是个概念问题，直接上书。

反函数的概念

什么是反三角函数

函数的反函数可以是多值的。我们想要得到一个单值的反三角函数（以正弦为例），必须取多值函数 y=\text{Arcsin }x的一个单值分支。数学家们规定这件事情的时候，选择了一个用起来最方便的单值分支（即 y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] 这个）。实际上，假如你是当初规定这个的数学家，你要是愿意规定成 \arcsin x\in\left[\frac{2019\pi}2,\frac{2021\pi}2\right] 或者 \arcsin x\in\left[\frac{2019\pi}2,\frac{2020\pi}2\right] \cup \left(\frac{4024\pi}2,\frac{4025\pi}2\right] ，也没什么不可以的，就是后代学数学的人有可能骂你。

对于后面图片里那个问题，我没有看懂你的做法。我觉得是你的老师教你们的求反函数办法，你比较熟悉，笔记就写的比较简略。

求 y=\frac1{\tan x} 的反函数的一种正确方法：（方便起见，假设 x\in\left(-\frac\pi2,0\right)\cup\left(0,\frac\pi2\right) ）

y=\frac1{\tan x}\\ \tan x=\frac1y\\x=\arctan\frac1y

对调字母 x 和 y ，得 y=\frac1{\tan x} 的反函数是 y=\arctan\frac1x 。