《一元函数不定积分》个人笔记

参考视频链接：

我这挂的是第一部分，后面连续四集都是关于一元函数积分

\bullet 连续函数必有原函数

这句话告诉我们，考研中涉及到积分的题型（包括二重积分三重积分等）给定的函数一定都是连续的

其他的都不用管，就只是为了说明这点而已

那么：有原函数的函数一定连续吗？

回答就是：

\bullet~有原函数的函数f(x)，一定没有第一类间断点\\ \bullet 有第一类间断点的函数一定没有原函数

还有一点就是：

\bullet 并不是有原函数的点他就一定能够计算，例如sin~{x^2},cos~{x^2},\frac{sinx}{x}等，他们在定义域内有原函数，但是却无法计算出他们的原函数

这一小节是最痛苦的一小节，因为要背好多的基本公式，只有掌握了这些公式，才能够在后面的技巧中使用它们

首先是一些很简单的公式：

\bullet\int kdx=kx+C\\ \bullet\int x^a=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\\ \bullet \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C\\ \bullet\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C\\ \bullet\int e^x=e^x+C

这些都是幂指式，对数式的

值得说明的一点是：

对于公式 \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C ，只有我们在不定积分的时候需要取绝对值，其他场合（例如定积分和导数）完全可以不用

接下来是一些简单的三角函数的积分公式：

\bullet \int sinxdx=-cosx+C\\ \bullet\int cosxdx=sinx+C\\

接下来上强度了，先来三角函数的一些我们不太熟悉的：

\bullet \int tanxdx=-ln|cosx|+C\\ \bullet \int cotxdx=ln|sinx|+C\\ \bullet \int secxdx=ln|secx+tanx|+C\\ \bullet \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C\\

继续下一组，上强度：

\bullet \int sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+C\\ \bullet \int cos^2xdx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C\\ \bullet \int tan^2xdx=tanx-x+C\\ \bullet \int cot^2xdx=-cotx-x+C\\ \bullet \int sec^2xdx=tanx+C\\ \bullet \int csc^2xdx=-cotx+C\\

至此，三角函数强度结束

继续下一组，关于分母为多项式的不定积分，上强度：

\bullet \int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\\ \bullet \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C\\ \bullet \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\\ \bullet \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\\ \bullet \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ \bullet \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\

这些也是很重要的，一定要对比记忆

最后再来一组，把他们分开是因为他们结果形式不同：

\bullet \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ \bullet \int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\\

最后一个

\bullet \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\\

说明：考研题中一般不会让你把不定积分中的参数 a 分类讨论，不然就太麻烦了，一般都是可以直接使用这些公式的，所以背下来准没错

背完这些基本的不定积分后，你已经超过很多人了，接下来的不定积分做题方法，相信对你来说也是轻轻松松

注意：

这里我要做一下笔记，什么时候使用第二类积分换元法：

第一类积分换元法一般都是适用于比较简单的式子，然而一旦遇到复杂的式子则无法解决，这个时候我们要想到第二类积分换元法

这句话听着很有道理，可是什么是“复杂的式子”呢？每个人对复杂的定义都有所不同，你认为复杂的别人觉得很简单

因此：

于是：

\bullet简单的情况f(\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}):令u=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\\ \bullet含\sqrt{a^2-x^2}的结构:令x=asint,t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})，其他的也类似，看对积分表是否灵敏

说明：

第二种换元一定要写明区间，因为只有单调函数才能使用第二类换元

那第二种换元解决后如何再换回来呢？画一个直角三角形对应好关系（可参考视频）

还是再挂一下视频链接，真的讲的很好：

首先说一下有理函数积分的形式：

形如\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx的积分的形式，其中P(x),Q(x)都是多项式的和(也就是类似x+x^3+x^5)\\ 我们假设P(x)的最高次数为m,Q(x)的为n\\ 我们接下来根据分子和分母的次数大小比来做题：

先说分子次数高于分母次数的，也就是 m>n 的做题办法，一个字：拆！:

把\frac{P(x)}{Q(x)}拆分成q(x)+\frac{r(x)}{Q(x)}的形式(整式+分式)，且r(x)的次数要小于Q(x)的次数

那怎么拆呢？不知道有没有学过那种除法，我截个视频讲解的图，具体去看原视频的4分27秒处

接下来是分子次数低于分母次数的，也就是 m当分子次数低于分母次数的处理方法

有三种情况（举例说明）

第一种：分母被分成了都只有一次因式的乘积

A,B,C如何计算？去看视频

第二种：分母包含二次因式

接下来视频中告诉我们：

考研中考察有理函数的积分，理论上次数一定小于4次，而且分母可以分解成一次因式和二次因式的乘积，如果超过了4次，那就需要我们凑微分降次

所以做题过程中不用写太复杂的拆分，学会上面的拆分提升自己正确率就很好了，因为后面的很多积分题目都会写成这样的形式

总的来说做题方法就是：

\bullet 如果分子次数大于分母次数，采用“除”+“拆”的方法写成q(x)+\frac{r(x)}{Q(x)}的形式\\ \bullet 如果分子次数小于分母，则把分母拆分成“一次因式”*“二次因式”，之后再拆掉，分别求A,B,C,D即可

另外视频中说明了：

一般当你把一个积分最终变换到有理函数的积分的形式时，你其实已经约等于得到了答案，

因为考研不会刁难你，一般都会在四次以下，考难了你也不会

如果考研考三角函数的积分，一般都是单独考，因为三角函数积分难度很大，所以考的也比较少，但是还是需要会

这种积分形式多样

\bullet形如\int f(sinx,cosx)dx的形式，其中f是有理函数形式

处理方法：

提前说明：不管是什么方法什么特殊函数，只要大家最后都通过一定变形（凑微分，分部积分等）转换成有理函数的积分的形式，这道题目基本就解决了

第一种：万能公式法：

但是万能公式法并不万能，因为：

这种方法转换之后也不一定能得解，因为可以看到分母都是二次，因此带入后可能出现四次方导致难度很大

那也就说明万能公式也只是适用于某些情况：

\bullet f的分子分母中，关于sinx，cosx的次数\leq1

这样就可以让他们的乘积小于4次

第二种方法：凑微分降次法：

\bullet 使用凑微分法，降次法，例如使用公式sin2x=2sinxcosx;~~cos2x=2cos^2x-1等

第二种方法往往是重点，考得更多，贴个完整的笔记：

通过凑微分降次，一直降到你会算为止

接下来视频讲了一些“死板的”凑微分方法：

另外他还讲了一个特例：

接下来就是例题：

接下来写了一个类似“1”的妙用的题目：

最后：

关于不定积分，大家不用想太多，按照简单的思路做就行，思路图：

例题：

写完了吗？接下来公布答案：

还有第二题：

例2的讲解在1小时45分处

强调一下老师的一句话：

大家做不定积分的时候就做按照这类步骤能够解出来的题目就行，不要去钻研那些技巧性很强的题目，因为它们在考研中基本不考，很多人在考研强化阶段做积分题目时，往往十道题目错九道，都是很正常的，因为资料书的题目都会出的很有技巧性，所以大家不必太在意

如上图，方法就是：

先分段求各自的不定积分 F_1(x)+C_1和F_2(x)+C_2 ，然后由连续性在分段点求极限得出 C_1 和 C_2 的关系

贴道例题就懂啦：