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计算几何问题汇总
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点与点之间， 线与线之间，点与线之间的位置关系是一类非常重要的问题。它不仅是平面几何学的基石，也常常应用于LBS(Location Based Service)，社交网络，以及数据库查询等领域。 本文中，我将给出判断这些关系的相关算法，作为参考。需要说明的是，我给出的这些问题的解法，都是建立在二维平面空间之上。有关多维空间的位置关系，大家可以仿照二维空间中问题的思路，做相应的拓展。 语言上，我用的当然还是Python. 点与点之间的距离先从最简单的点与点的位置关系说起。一般情况下，我们只关心点与点之间的距离。 1. 点类的定义为使算法思路更加清晰，先定义点类 Point，既然是在二维空间上，那么每个点都应该有两个属性：x, y分别代表点的横纵坐标。 class Point(object): """Point are two-dimension""" def __init__(self, x, y): self.x = x self.y = y 123456接下来就看看如何计算两点之间距离：当然可以用初中学的欧氏距离最基本的计算方法。但是考虑到代码编写的效率，以及方便以后向高维空间拓展。我在本文中将尽量使用向量计算。 而为了简化代码，我们使用对于向量运算已经相当成熟的库numpy 2. 两点之间距离的计算显然，两点可以构成向量，而向量的长度则是其内积的开方。空间中，点 A 与点 B 的距离可以用向量 AB−→ 的模 |AB−→| 表示。所以，现在需要做的，就是写一个函数，以两点为参数，计算由这两点构成的向量的模。 为了和本文之后的问题保持编码风格上一致，同时简化代码编写。我使用对向量运算已经极为成熟的库numpy帮助计算。并且定义了一个新的类 Vector，类 Vector 以向量的起点和终点作为输入，生成一个只拥有属性x和y的向量对象。 最后，和前面定义的类放在一起，代码如下： import numpy as np # numpy help us do some vector calculation class Point(object): """Point are two-dimension""" def __init__(self, x, y): self.x = x self.y = y class Vector(object): """start and end are two points""" def __init__(self, start, end): self.x = end.x - start.x self.y = end.y - start.y def pointDistance(p1, p2): """calculate the distance between point p1 and p2""" # v: a Vector object v = Vector(p1, p2) # translate v to a ndarray object t = np.array([v.x, v.y]) # calculate the inner product of ndarray t return float(np.sqrt(t @ t)) 1234567891011121314151617181920212223242526272829说明一下，在Python3.5以后的版本中，使用numpy库时，ndarray对象之间的乘法可以用 @ ，代替之前的 v1.dot(v2) 这样的形式。 点与线之间的位置关系 1. 线的分类点与线之间的位置关系就要稍微复杂一些了，复杂之处在于线分线段和直线两种情况。但是，在定义类的时候我都用两点来代表线段（直线）的两个属性。于是，至少代码看上去是没什么分别的。 不同之处在于，线段的两个点事两个端点，而直线的两个点是直线上任意两点。 class Segment(object): """the 2 points p1 and p2 are unordered""" def __init__(self, p1, p2): self.p1 = p1 self.p2 = p2 class Line(object): """p1 and p2 are 2 points in straight line""" def __init__(self, p1, p2): self.p1 = p1 self.p2 = p2 1234567891011121314需要注意的是，这里并没有说线段的两个点是什么顺序（不一定说左边的点就是p1，右边就是p2） 2. 点与线的位置关系(1) 计算点到直线的距离 如Fig.1(a)所示，现要求点 C 到直到直线 AB 的距离。还是向量法，据向量知识可知： cos∠CAB=AC−→⋅AB−→|AC−→|⋅|AB−→|
再由三角形知识可知，线段 AD 的长度为： |AC−→|⋅cos∠CAB
所以， AD−→− 可以这样计算： AD−→−=AB−→|AB−→|⋅|AD−→−|=AB−→|AB−→|⋅|AC−→|⋅cos∠CAB=AB−→⋅AC−→|AB−→|2AB−→
当 AD−→− 计算完成之后，可以根据 AD−→− 相应的坐标值得到点 D 的坐标，再由上面点和点之间的距离，即可得到线段 CD 的长度。 给出完整的代码如下： import numpy as np # numpy help us do some vector calculation class Point(object): """Point are two-dimension""" def __init__(self, x, y): self.x = x self.y = y class Segment(object): """the 2 points p1 and p2 are unordered""" def __init__(self, p1, p2): self.p1 = p1 self.p2 = p2 class Line(object): """p1 and p2 are 2 points in straight line""" def __init__(self, p1, p2): self.p1 = p1 self.p2 = p2 class Vector(object): """start and end are two points""" def __init__(self, start, end): self.x = end.x - start.x self.y = end.y - start.y def pointDistance(p1, p2): """calculate the distance between point p1 and p2""" # v: a Vector object v = Vector(p1, p2) # translate v to a ndarray object t = np.array([v.x, v.y]) # calculate the inner product of ndarray t return float(np.sqrt(t @ t)) def pointToLine(C, AB): """calculate the shortest distance between point C and straight line AB, return: a float value""" # two Vector object vector_AB = Vector(AB.p1, AB.p2) vector_AC = Vector(AB.p1, C) # two ndarray object tAB = np.array([vector_AB.x, vector_AB.y]) tAC = np.array([vector_AC.x, vector_AC.y]) # vector AD, type: ndarray tAD = ((tAB @ tAC) / (tAB @ tAB)) * tAB # get point D Dx, Dy = tAD[0] + AB.p1.x, tAD[1] + AB.p1.y D = Point(Dx, Dy) return pointDistance(D, C) 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768(2) 判断点是否在直线上 既然已经能够计算点到直线的距离了，那么，只需要看点到直线的距离是否为0即可知道这个点在不在直线上。 接着上面的代码，可以写出如下函数： def pointInLine(C, AB): """determine whether a point is in a straight line""" return pointToLine(C, AB) < 1e-9 1234(3) 判断点是否在线段上 处理完了点和直线的位置关系，我们接着来看点与线段的位置关系。其实，最常用的就是一点：判断点是否在线段上。这和判断点是否在直线上最大的区别在于线段有起点、终点。 如Fig.1(b)所示，判断点 C 在不在线段 AB 上，可以这样解决： 计算点 C 到线段 AB 所在直线的距离 若这个距离为0，继续第3步；否则，返回False 若点 C 的横坐标在点 A 与点 B 的横坐标之间，则返回True，否则返回False函数如下： def pointInSegment(C, AB): """determine whether a point is in a segment""" # if C in segment AB, it first in straight line AB if pointInLine(C, Line(AB.p1, AB.p2)): return min(AB.p1.x, AB.p2.x) >> False # 设点p4, p5得到一条与l1平行的直线l2 p4 = Point(0, 1) p5 = Point(2, 3) l2 = Line(p4, p5) print(linesAreParallel(l1, l2)) # >>> True # 计算p4到l1的距离 print(pointToLine(p4, l1)) # >>> 0.7071067... # 设两条线段s2, s3 s2 = Segment(Point(0, 2), Point(5, -1)) s3 = Segment(Point(1, 0.7), Point(5, -1)) # s2与s1相交；s3与s1不相交 print(segmentsIntersect(s2, s1)) # >>> True print(segmentsIntersect(s3, s1)) # >>> False |
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