从耦合微带线到近、远端串扰

最开始写这篇文章的时候，只是很激动的发现了完全可以通过网络和传输线理论推导出网络的S参数矩阵，而且具有普适性。

后面写着写着发现，耦合微带线的结论可以关联上信号完整性的近、远端串扰的理论分析。我又去翻看了信号完整性的书，发现其理论分析是建立在互感和互容的基础上，是将电磁场的分布以电感和电容为模型进行了抽象。那什么叫电感和电容？在我的理解，是工程师们为了电磁场分析方便进行的电路化。也就是说电压和电流满足一定的关系叫电感、或者电容。至此，我们不在关心其局部空间的电场如何分布、磁场如何分布。所有的电参量就变成了电压、和电流。

同样的，为什么在基尔霍夫电流电压定律的基础上，又延伸出了传输线理论呢？我们都知道，低频线路分析用基尔霍夫电压定律，高频分析要考虑分布参数，要用到传输线理论。这些都是工程师将复杂电磁场求解转换成电路求解的模型简化。

两根线靠的很近的耦合微带线，线与线之间的耦合会影响单个端口看进去的阻抗。为什么阻抗会变呢？是因为场分布变了。从电磁场理论来讲，只有场分布才是最本质的东西，而电流、电压是场分布的积分形式。那么电路中阻抗的定义来自于电流和电压。所以阻抗归根究底来自于场。只要场分布变了，那么从电路来讲的阻抗就变了。

为什么奇模阻抗和偶模阻抗不一样？因为奇模激励和偶模激励的场分布是不一样的。所以很容易理解，阻抗也就变了。

奇模阻抗Z0o：当port1和port3加载奇模激励，port2和port4加载奇模激励时，某端口的入射电压波和电流波的阻抗关系。此时可认为对称面的电位为0，且电场方向垂直于该对称面，可认为在对称面的位置加了电壁（电场垂直于边界面，比如理想导体）的单根传输线的阻抗。

比如：普通微带线的阻抗是Z0，而加了电壁后，场分布变了，阻抗变成了Z0’。因为加了电壁，另一根传输线存在与否也无关紧要了，因为它不改变场分布。

偶模阻抗Z0e：同样的，当port1和port3加载偶模激励，port2和port4加载偶模激励时，此时对称面的磁场分布垂直于对称面。可认为加了磁壁（理想磁导体），仍然可以将对称面的另一导体拿掉。

加电壁和磁壁的作用是去耦（去掉耦合线之间的相互影响），而奇偶模的本质也是去耦。妙啊！

特性阻抗： 当我们只在一个端口加激励，其余端口端接匹配阻抗，此时入射电压波和电流波的比值叫做耦合线的特性阻抗Z0。为了不产生反射，在其余端口端接匹配阻抗ZL=50Ω，要求Z0=ZL，这个特性阻抗与奇模阻抗和偶模阻抗存在什么关系，才能保证端口没有反射呢？

微波工程一书已经推导得到了（下面我们从网络的角度也会得到这个关系式的）：

如果一个网络具有物理对称性，那么采用奇偶模理论分析后，知道了奇模和偶模的S参数矩阵，就可以求解出该网络的S参数矩阵。下面对这一过程进行分析。

四端口的S参数矩阵如下：

port1和port3等价；port2和port4等价；有：

S11=S33；S22=S44；S12=S21=S34=S43；S13=S31；S24=S42；S14=S41=S32=S23

那么矩阵变成：

偶模激励：

奇模激励：

符号改写：Se=SA+SB, So=SA-SB

奇模的特性阻抗Z0o,偶模的特性阻抗Z0e。

奇模激励时,传输线的阻抗是奇模阻抗，ABCD矩阵可以写成： 偶模激励时,传输线的阻抗是偶模阻抗，ABCD矩阵可以写成：

由此得到So和Se 那么: 对于端口匹配的条件S11=0,有： 同样的，S21计算过程如下，将Z02=Z0O Z0e带入下式化简：

定义耦合系数C: 有： 同样的S31也可以同样推导出来。过程如下（不愿意看公式推导的同学直接跳过）

同理可得S14=0

耦合微带线的S参数矩阵为:

当βl=π/2时，S参数矩阵化简为： 这就是耦合微带线的S参数矩阵的推导，完全从传输线理论+网络理论进行的推导。与微波工程的结果完全一样。

第一步：从物理上抽象的理解了什么是奇模阻抗&偶模阻抗

第二步：从奇偶模理论分析得到了对称物理结构的S参数矩阵的特点，并与奇模矩阵和偶模矩阵之间的关系；

第三步：从传输线的角度，得到奇模矩阵和偶模矩阵的ABCD矩阵；

第四步：通过网络之间的转换关系（注意是与阻抗有关的）得到奇模矩阵和偶模矩阵的S矩阵;

第五步：最终得到对称物理结构的S参数矩阵

1、port3与port1信号完全同相，port3与port2端口相位相差90°；

2、port4是隔离端。如果网络理想对称，且端口理想匹配，那么port1与port4之间的隔离度为∞。

！！！然后我突然想到，耦合微带线与PCB的多根拉线的并行走线不是很类似吗？

也就是说，理论上线与线之间只应该产生近端串扰，而没有远端串扰？

想到这里，我很激动的去看了关于信号完整性的书。结果显示：表层信号走线有很大的远端串扰，而内层走线的远端串扰为0。所以这是为什么呢？

原因就是相速度！

表层走线为微带线，它传导的并不是TEM波，而是quasi-TEM波（也是由场分布来决定的），所以其奇模和偶模的相速度不同，也就是传输常数β不同，奇、偶模波形在传输过程中会逐渐分开，在远端两个分量不能被完全抵消；内层走线是严格的TEM波，故奇模和偶模的相速度相同，也就没有远端串扰了。

1、远端串扰的饱和长度与奇模传播速度vo和偶模传播速度ve的差值有关，而这个差值很小，所以要很长的走线才能使共模分量和奇模分量的延时差等于Tr。所以远端串扰的饱和长度很长，远大于近端串扰的饱和长度。

2、线间距W对vo和ve的差有影响，所以也会影响饱和长度，W↑, vo- ve↓，饱和长度也越长。

3、Tr↓，共模分量和奇模分量的延时差更容易达到这个值，更容易饱和；

4、表层的远端的串扰增加的很快，噪声幅度很大，所以尽量不要在表层走很长的平行线。