向量叉乘的几何意义及其模的计算

目的：在传统的向量叉乘计算中，常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小，一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义： 外积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，用符号： × \times ×表示。可以定义为： a → × b → = c →      ( 1 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \space \space \space \space(1) a ×b =c     (1) 假设两个向量 a → × b → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} a ×b 外积,它的方向为 c → \overrightarrow{c} c 。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。 它的定义也可以写成： a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n →      ( 2 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} \space \space \space \space(2) a ×b =∣a ∣∣b ∣sin(θ)n     (2) 其中 θ \theta θ为两个向量的夹角 0 ≤ θ ≤ 180 0\le \theta \le 180 0≤θ≤180； ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| ∣a ∣∣b ∣分别为两个向量 a → b → \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} a b 的模长。 n → \overrightarrow{n} n 为垂直于 a → b → \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} a b 所在平面的法向量，且它满足右手定则。如下图： 上面的定义很好理解。但是一般在代数计算两个向量的叉乘，会用到行列式计算。就如一组单位积 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ​,k );其中 a → = a 0 i → + a 1 j → + a 2 k → \overrightarrow{a}=a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k} a =a0​i +a1​j ​+a2​k ; b → = b 0 i → + b 1 j → + b 2 k → \overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k} b =b0​i +b1​j ​+b2​k 在计算两个向量的叉乘时候，一般用代数方法为： a → × b → = ( a 0 i → + a 1 j → + a 2 k → ) × ( b → = b 0 i → + b 1 j → + b 2 k → ) = a 0 b 0 ( i → × i → ) + a 0 b 1 ( i → × j → ) + a 0 b 2 ( i → × k → ) + a 1 b 0 ( j → × i → ) + a 1 b 1 ( j → × j → ) + a 1 b 2 ( j → × k → ) + a 2 b 0 ( k → × i → ) + a 2 b 1 ( k → × j → ) + a 2 b 2 ( k → × k → )      ( 3 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}) \times(\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}) \\ = a_0b_0(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}) + a_0b_1(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}) + a_0b_2(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k})+ \\ a_1b_0(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i}) + a_1b_1(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}) + a_1b_2(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}) + \\ a_2b_0(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}) + a_2b_1(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{j}) + a_2b_2(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}) \space \space \space \space(3) a ×b =(a0​i +a1​j ​+a2​k )×(b =b0​i +b1​j ​+b2​k )=a0​b0​(i ×i )+a0​b1​(i ×j ​)+a0​b2​(i ×k )+a1​b0​(j ​×i )+a1​b1​(j ​×j ​)+a1​b2​(j ​×k )+a2​b0​(k ×i )+a2​b1​(k ×j ​)+a2​b2​(k ×k )    (3)

因为基向量 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ​,k )两两垂直，且为单位向量。 0 → \overrightarrow{0} 0 表示都为 0 0 0的向量。所以得到： i → × i → = 0 →      ( 4 ) j → × j → = 0 →      ( 5 ) k → × k → = 0 →      ( 6 ) i → × j → = k →      ( 7 ) j → × k → = i →      ( 8 ) k → × i → = j →      ( 9 ) \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(4) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(5) \\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0} \space \space \space \space(6) \\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{k} \space \space \space \space(7) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i} \space \space \space \space(8)\\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{j} \space \space \space \space(9) i ×i =0     (4)j ​×j ​=0     (5)k ×k =0     (6)i ×j ​=k     (7)j ​×k =i     (8)k ×i =j ​    (9) 将 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) (4)(5)(6)(7)(8)(9) (4)(5)(6)(7)(8)(9)代入公式 ( 3 ) (3) (3)得到如下： a → × b → = − a 0 b 0 0 → + a 0 b 1 k → − a 0 b 2 j → − a 1 b 0 k → − a 1 b 1 0 → + a 1 b 2 i → + a 2 b 0 j → − a 2 b 1 i → − a 2 b 2 0 → = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i → + ( a 2 b 0 − a 0 b 2 ) j → + ( a 0 b 1 − a 1 b 0 ) k →      ( 10 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -a_0b_0\overrightarrow{0}+a_0b_1\overrightarrow{k}-a_0b_2\overrightarrow{j} \\ - a_1b_0\overrightarrow{k}-a_1b_1\overrightarrow{0} +a_1b_2\overrightarrow{i} \\ +a_2b_0 \overrightarrow{j} - a_2b_1\overrightarrow{i} -a_2b_2\overrightarrow{0}\\ =(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} \space \space \space \space(10) a ×b =−a0​b0​0 +a0​b1​k −a0​b2​j ​−a1​b0​k −a1​b1​0 +a1​b2​i +a2​b0​j ​−a2​b1​i −a2​b2​0 =(a1​b2​−a2​b1​)i +(a2​b0​−a0​b2​)j ​+(a0​b1​−a1​b0​)k     (10)

公式的 ( 10 ) (10) (10)，在日常用行列式计算表达。使用 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ​,k )的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。 a → × b → = [ i → j → k → a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 ] = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i → + ( a 2 b 0 − a 0 b 2 ) j → + ( a 0 b 1 − a 1 b 0 ) k → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =\begin{bmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_0& a_1 & a_2 \\ b_0& b_1 & b_2 \end{bmatrix} = (a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} a ×b =⎣ ⎡​i a0​b0​​j ​a1​b1​​k a2​b2​​⎦ ⎤​=(a1​b2​−a2​b1​)i +(a2​b0​−a0​b2​)j ​+(a0​b1​−a1​b0​)k

因为它为基向量，在欧式几何中，它的表达为： i → = [ 1 0 0 ] ; j → = [ 0 1 0 ] ; k → = [ 0 0 1 ]      ( 11 ) \overrightarrow{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}; \overrightarrow{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix};\overrightarrow{k}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \space \space \space \space(11) i =⎣ ⎡​100​⎦ ⎤​;j ​=⎣ ⎡​010​⎦ ⎤​;k =⎣ ⎡​001​⎦ ⎤​    (11) 因此 ( 11 ) (11) (11)代入到 ( 10 ) (10) (10)得到： a → × b → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ]      ( 12 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(12) a ×b =⎣ ⎡​a1​b2​−a2​b1​a2​b0​−a0​b2​a0​b1​−a1​b0​​⎦ ⎤​    (12)

上面是基于基向量的表达，它和上面的公式对应，因此可以得到： a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ]      ( 13 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(13) a ×b =∣a ∣∣b ∣sin(θ)n =⎣ ⎡​a1​b2​−a2​b1​a2​b0​−a0​b2​a0​b1​−a1​b0​​⎦ ⎤​    (13)

在一些应用，经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。 a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ] = [ 0 − a 2 a 1 a 2 0 − a 0 − a 1 a 0 0 ] [ b 0 b 1 b 2 ] = a → × b →      ( 14 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_2 & a_1 \\ a_2& 0 & -a_0 \\ -a_1& a_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \space \space \space \space(14) a ×b =∣a ∣∣b ∣sin(θ)n =⎣ ⎡​a1​b2​−a2​b1​a2​b0​−a0​b2​a0​b1​−a1​b0​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​0a2​−a1​​−a2​0a0​​a1​−a0​0​⎦ ⎤​⎣ ⎡​b0​b1​b2​​⎦ ⎤​=a ×b     (14)

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。 假设 a → , b → \overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} a ,b 为二维向量。这样易于解释。因此画图如下：

计算三角形面积为： ∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ )      ( 15 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta) \space \space \space \space(15) ∣area∣=21​∣a ∣∣b ∣sin(θ)    (15)

转化一下表达，因为 s i n ( θ ) sin(\theta) sin(θ)不好计算，需要计算 c o s ( θ ) cos(\theta) cos(θ)。

其中 ∣ a → ′ ∣ = ∣ a → ∣ |\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}| ∣a ′∣=∣a ∣; ∣ b → ∣ s i n ( θ ) = ∣ b → ′ ∣ c o s ( θ ′ ) |\overrightarrow{b}|sin(\theta)=|\overrightarrow{b}'|cos(\theta') ∣b ∣sin(θ)=∣b ′∣cos(θ′);

∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) = 1 2 ∣ b → ∣ ∣ a → ∣ c o s ( θ ′ )      ( 16 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos(\theta') \space \space \space \space(16) ∣area∣=21​∣a ∣∣b ∣sin(θ)=21​∣b ∣∣a ∣cos(θ′)    (16) 其中 θ ′ + θ = 90 \theta'+\theta=90 θ′+θ=90.且 ∣ a → ′ ∣ = ∣ a → ∣ |\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}| ∣a ′∣=∣a ∣,容易得到公式简化，简化上述等式为： ∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ b → ∣ ∣ a → ′ ∣ c o s ( θ ′ ) = 1 2 b → ⋅ a → ′ = 1 2 a → ′ ⋅ b →      ( 17 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}'|cos(\theta')=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}'=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b} \space \space \space \space(17) ∣area∣=21​∣b ∣∣a ′∣cos(θ′)=21​b ⋅a ′=21​a ′⋅b     (17)

因为 a → ′ \overrightarrow{a}' a ′是通过 a → \overrightarrow{a} a 旋转90度得到的，如下图。

因此假设 a → = [ a 0 a 1 ] \overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix} a =[a0​a1​​] 得到 a → ′ = [ − a 1 a 0 ] \overrightarrow{a}'=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} a ′=[−a1​a0​​]

因此得到公式： 2 ∣ a r e a ∣ = a → ′ ⋅ b → = [ − a 1 a 0 ] ⋅ [ b 0 b 1 ] = a 0 b 1 − a 1 b 0      ( 18 ) 2|area|=\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \end{bmatrix} = a_0b_1-a_1b_0 \space \space \space \space(18) 2∣area∣=a ′⋅b =[−a1​a0​​]⋅[b0​b1​​]=a0​b1​−a1​b0​    (18)

可以看到行列式是面积的表达。 2 ∣ a r e a ∣ = ∣ a 0 a 1 b 0 b 1 ∣ 2|area|=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ b_0 & b_1 \end{vmatrix} 2∣area∣=∣ ∣​a0​b0​​a1​b1​​∣ ∣​