深度学习之径向基函数神经网络RBFNN

径向基函数（Radial Basis Function）神经网络是具有唯一最佳逼近（克服局部极小值问题）、训练简洁、学习收敛速度快等良好性能的前馈型神经网络，目前已证明RBFNN能够以任意精度逼近任意连续的非线性网络，被广泛用于函数逼近、语音识别、模式识别、图像处理、自动控制和故障诊断等领域。

全局逼近网络：网络的一个或多个权值对任一输出都有影响。由于每次输入都要对所有权值进行修正，因此这种网络的学习速度很慢，无法满足实时性要求，如DNN（MLP）。

局部逼近网络：对于输入空间的某局部区域只有少数几个连接权影响输出，有可能满足实时性要求，如RBFNN。

一、RBFNN结构

RBFNN包含3层结构，即只有一个隐藏层：

1、输入层是由N个感知单元组成，表示信源节点输入；

        输入层仅起到输入数据的作用，输入层和隐藏层之间的连接权值为1。

2、隐藏层含有M个径向基神经元（激活函数为RBF），将低维非线性可分的输入映射到高维线性可分的空间；

        隐藏层节点的激活函数对输入局部响应，当输入靠近基函数中央范围时，隐藏层节点将产生较大的输出；

        远离中心点时，输出将呈指数衰减。

3、输出层含有P个线性神经元（激活函数为线性函数），最终的输出是隐藏层神经元输出的线性加权和。

二、RBFNN原理

径向基函数RBF是中心点径向对称、取值仅依赖于距中心点距离的非负实值函数，常用的RBF使用欧氏距离及高斯函数，令μi为隐藏层第i个节点的高斯函数中心点，σi为第i个节点的宽度参数/方差：

RBF的基本思想是将低维线性不可分的数据映射到高维空间，使其在高维空间线性可分。就像SVM中只需要找到代表数据的支持向量一样，RBF也只需要找到能够代表数据的中心点即可。与传统DNN的BP算法不同之处是，RBF网络不用对全局连接权值进行训练，只对一些重要的影响输出的权重进行调整，提高了训练速度，因此该函数也称局部响应函数。

RBFNN需要选择M个隐藏层基函数，输入向量与中心点之间的距离||x-μ||越小则网络的输出就越大。中心点矩阵的大小为隐层神经元数M*输入层神经元数N，每个μi对应的σi使得不同的输入信息能被不同的隐层神经元最大程度的反映出来。

最终的输出为：

RBFNN的优缺点

优点：非线性拟合能力强，全局最优逼近；局部接受特性使得决策时含有距离的概念，学习规则简单、拓扑结构紧凑、结构参数可实现分离学习，收敛速度快，便于计算机实现；稳定性、泛化能力、记忆能力强，具有强大的自学习能力等。

缺点：解释性差，数据不充分时无法工作，难以确定隐藏层节点数、节点中心和宽度，优选过程出现数据病态现象等。

三、RBFNN分类

        1、正则化RBFNN（RN）

正则化RBFNN的隐藏层节点个数等于输入样本数M=N，隐节点激活函数为高斯形式的Green函数，并将所有输入样本设为径向基函数的中心点，各个径向基函数采取统一的方差：

其中 是中心点之间的最大距离，M是中心点个数。

由于易受噪声影响，且可能是超定问题，需要加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性：

其中λ为正则化参数，D为线性微分算子，代表对F(x)的先验知识。确定隐藏层神经元的中心位置后，只需要解线性方程组得到W的解析解即可确定该RBFNN模型：

这种方法适用于一些样本量小的问题，特点是计算量小、过程简单，易受噪声影响、可能是超定问题，需要加入正则项。

        2、广义RBFNN（GN）

使用径向基函数作为隐节点的基函数，对输入向量进行变换，从输入层到隐藏层相当于把低维空间的数据映射的到高维空间。输入层节点个数为样本的维度，隐藏层节点个数多于输入层节点个数，但一定比样本总个数少得多，因此减小了计算量且避免了病态数据的问题。

样本维数N < 隐层节点个数M < 样本总个数

        两种模型的比较

RN

GN

隐节点=输入样本总数

隐节点