R语言ARIMA

在本文中，我们将尝试为苹果公司的日收益率寻找一个合适的 GARCH 模型（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

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波动率建模需要两个主要步骤。

指定一个均值方程（例如 ARMA，AR，MA，ARIMA 等）。

建立一个波动率方程（例如 GARCH, ARCH，这些方程是由 Robert Engle 首先开发的）。

要做(1)，你需要利用著名的Box-Jenkins方法，它包括三个主要步骤。

识别

估算

诊断检查

这三个步骤有时会有不同的名称，这取决于你读的是谁的书。在本文中，我将更多地关注（2）。

我将使用一个名为quantmod的软件包，它代表量化金融建模框架。这允许你在R中直接从各种在线资源中抓取金融数据。

收益通常有一个非常简单的平均数方程，这导致了简单的残差。

我们首先要测试序列依赖性，这是条件异方差的一个指标（序列依赖性与序列相关不同）。这是通过对原始序列的平方/绝对值进行测试，并使用Ljung和Box（1978）的Ljung-Box测试等联合假设进行测试，这是一个Portmentau检验，正式检验连续自相关，直到预定的滞后数，如下所示。

其中T是总的周期数，m是你要测试的序列相关的滞后期数，ρ2k是滞后期k的相关性，Q∗(m)∼χ2α有m个自由度。

下面是AAPL对数收益时间序列及其ACF，这里我们要寻找显著的滞后期（也可以运行pacf）或存在序列自相关。

通过观察ACF，水平序列（对数收益）并不是真正的自相关，但现在让我们看一下平方序列来检查序列依赖性。

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R语言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型对金融时间序列数据建模

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我们可以看到，平方序列的ACF显示出显著的滞后。这是一个信号，说明我们应该在某个时候测试ARCH效应。

我们可以看到，AAPL的对数回报在某种程度上是一个平稳的过程，所以我们将使用Augmented Dicky-Fuller检验（ADF）来正式检验平稳性。ADF是一个广泛使用的单位根检验，即平稳性。我们将使用12个滞后期，因为根据文献的建议，我们有每日数据。何：存在单位根（系列是非平稳的

上面的P值为0.01，表明我们应该拒绝Ho，因此，该系列是平稳的。

请注意，我从2008年底开始研究APPL序列。以避免08年大衰退，通常会在数据中产生结构性突变（即趋势的严重下降/跳跃）。我们将对结构性突变/变化进行Chow测试。AAPL的日收益率没有结构性突变

该图显示，用于估计断点（BP）数量的BIC（黑线）是BIC线的最小值，所以我们可以确认没有结构性断点，因为最小值是零，即零断点。在预测时间序列时，断点非常重要。

在这一节中，我们试图用auto.arima命令来拟合最佳arima模型，允许一个季节性差异和一个水平差异。

正如我们所知，{Yt}的一般ARIMA(p,d,q)。

根据auto.arima，最佳模型是ARIMA(3,0,2)，平均数为非零，AIC为-14781.55。我们的平均方程如下（括号内为SE）。

Auto.arima函数挑选出具有最低AIC的ARIMA(p,d,q)，其中。

其中Λθ是观察到的数据在参数的mle的概率。因此，如果Auto.arima函数运行N模型，其决策规则为AIC∗=min{AICi}Ni=1

我们可以看到，我们的ARIMA(3,0,2)的残差是良好的表现。它们似乎也有一定的正态分布

现在我们将通过对我们的ARIMA(3,0,2)模型的平方残差应用Ljung-Box测试来检验ARCH效应。