一道高难度初中数学竞赛题：不少学生一筹莫展，学霸也发愁

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因式分解是中学数学的重要考点，中考中都会有直接因式分解的题目，还有不少利用因式分解来解题的题目，高考中也有不少题目会用到因式分解。因式分解在中考中的难度一般不是很大，只需要用书本上讲到的提公因式法、公式法、十字相乘法等简单方法就能做出来。

中考考得简单，并不代表因式分解没有难题，本文就和大家分享一道初中数学竞赛题里面的因式分解题目：分解因式x^3+(2a+1)x+(a^2+2a-1)x+a^2-1。这道题的难度还是比较大的，不少同学看到题后一筹莫展，甚至一些学霸也发愁。

接下来我们一起来看一下这道题。

题目中出现了x的三次方，因此有同学首先想到了用立方公式进行分解，正好里面还有个“1”可以看成1的立方，所以将x^3-1先分解，即x^3-1=（x-1)（x^2+x+1)。不过后面又该怎么分解呢？剩下的作为一组是很难进行分解的。所以这条路是行不通的。

本文和大家分享三种解法。

解法一：拆项法

对于高次多项式的因式分解，拆项或者添项后再分组是一个重要思路。本题中三次项、二次项、一次项都存在，所以可以优先考虑拆项法。

拆项的目的是为了分组，直接拆项不太好拆，所以可以先将常数项即a^2-1进行分解，然后再把二次项拆项。这个时候拆项的方向就找到了：拆项后的二次项的一部分与一次项、常数项可以进行因式分解。剩下的部分二次项再与三次项作为一组，这样就可以继续分解。

解法二：变换主元法

一般情况下，我们会默认x为主元，a为参数。但是如果我们变换一下主元呢？也就是说把a看成主元，x当成参数，此时就可以整理成一个关于a的二次三项式，这样一来就变得更加简单了。

当然，在解题过程中，在适当的步骤又可以转化为以x为主元进行分解。比如可以中间的步骤再次转化主元（见下图），也可以在以a为主元分解完成后再写成以x为主元的形式。

在本题中，变换主元就起到了降幂的作用，让分解更加简单。

解法三：整式除法（长除法）

利用整式除法分解因式时需要先试根，即先找出这个多项式对应方程的一个根。当然，在试根的时候用的最多的数字是±1和±2。比如此题中，x=-1就是原多项式对应方程的一个根，所以（x+1)就是原多项式的一个因式，然后再用长除法的形式求出另外一个因式。

需要注意的是，长除法得到的商也就是另外一个因式往往并不是最终形式，而还需要进行进一步的分解。但是，此时的分解一般都不太难了，用简单的十字相乘法就可以完成。

这道高难度的初中数学竞赛题就和大家分享到这里。

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