正多边形――属性

多边形是边是直线的平面（二维）图形，例如三角形、四边形、五边形、六边形等等。

"规则（正）多边形"：

否则便是个 不规则多边形。

在这里我们只谈正多边形。

我们可以谈什么属性？首先，可以谈谈多边形的角。

外角是多边形任何一条边与邻边的延长线之间的角。

多边形所有的外角加起来是 360°，所以：

每个外角等于 360°/n

（n 是边的个数）

按 play 钮来看看。

（正八边形的）外角

八边形有八条边，所以：

外角 = 360°/n = 360°/8 = 45°

内角与外角都是在同一条线上，所以它们的和是 180°。

内角 = 180° − 外角

外角 = 360°/n，所以：

内角 = 180° − 360°/n

这可以重排成：

所以：

内角 = (n−2) × 180° / n

正八边形有八条边，所以：

外角 = 360° / 8 = 45°

内角 = 180° − 45° = 135°

（正八边形的）内角

我们也可以用：

内角 = (n−2) × 180° / n

= (8−2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 135°

正六边形有六条边，所以：

外角 = 360° / 6 = 60°

内角 = 180° − 60° = 120°

名称：

这是多边形 "外面" 和 "里面" 的圆和半径，像这样：

"外面" 的圆叫外接圆，它连接多边形所有的顶点（角）。

外接圆的半径也是多边形的半径。

"里面" 的圆叫内接圆，它刚好接触多边形每一条边的中点。

内接圆的半径是多边形的边心距。

（不是所有的多边形都有这些属性的，但三角形和正多边形有）。

我们可以把多边形拆成三角形来更具体地分析多边形的属性：

注意：

三角形的面积是底乘高的一半：

一个三角形的面积 = 底 × 高 / 2 = 边长 × 边心距 / 2

整个多边形的面积是所有三角形面积的和（总共有 "n" 个）：

多边形面积 = n × 边长 × 边心距 / 2

周长是 = n × 边长，所以：

多边形面积 = 周长 × 边心距 / 2

再把三角形一分为二：

（注意：角的单位是弧度，而不是角度）

小三角形是直角三角形，我们可以用 正弦、余弦和正切函数来分析边长、半径、边心距和 "n" 的关系：

还有很多类似的关系（大部分都是可以互相"转换的"），但在这里我们就谈这么多。

如果我们只知道边心距，我们可以这样求面积：

小三角形的面积 = ½ × 边心距 × (边长/2)

从上面的 "tan" 公式，我们知道：

边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

因此：

每边有两个这样的三角形，总共有 2n 个：

多边形面积 = n × 边心距2 × tan(π/n)

如果我们不知道边心距，我们可以用同一个公式，但以半径或者边长为变量：

多边形面积 = ½ × n × 半径2 × sin(2 × π/n)

多边形面积 = ¼ × n × 边长2 / tan(π/n)

这是不同多边形的边长、边心距和面积的值（半径为 "1"）：

这是上面列表的图，边个数从 3 到 30。

留意当 "n" 越来越大，边心距趋近 1（等于半径），面积趋近 π = 3.14159……和圆形一样。

边长趋近什么？