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1.3 行列式的性质与计算
一、行列式的性质
首先介绍转置行列式的概念。
定义:设有n阶行列式D,现把D中行与列互换,即把D中第一行改成第一列,第二行改为第二列,…,第n行改为第n列,得到又一个n阶行列式,称它为行列式D的转置行列式,记成
或。
即,则
性质
1:
行列式与它的转置行列式相等,即。
例如,
性质1表明:在行列式中,行与列的地位是平等的或对称的,因而行列式有关于行的性质,对列也同样成立。
性质
2
:用数
k
乘行列式
D
中某一行(或某一列)所得的行列式等于行列式
D
的
k
倍,换句话说,对行列式,可以按行(列)提出公因数。
例如
例
1:计算行列式
解:D中第二行元素有公因数2,第三行元素有公因数3,都可提出来,即
性质
3:
互换行列式的任意两行(或两列),行列式的值变号
例如
推论
1
:若行列式中有某两行(列)相同,则此行列式为零。
推论
2
:若行列式中有某两行(列)元素对应成比例,则此行列式为零。
例如
这是因为第一行元素与第三行元素对应成比例。
性质
4
:若行列式的某一行(或某一列)的每一元素均表为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆成两个行列式相加。
例如
注意:在拆成两个行列式相加时,应逐行或逐列拆,即,
应该为
性质
5
:把行列式
D
的某一行(列)的
k
倍加到另一行(列)上,行列式的值不变。
例如
例
2:已知104,273,351均能被13整除,
证明:行列式也能被13整除
证:把D的第一列的100倍,第二列的10倍均加到第三列上,得
,而的值必是整数。
所以D的值为13的整数倍,即D能被13整除。证毕。
例
3:证明的充要条件是或
证:
证毕。
由以上行列式性质与展开定理,可得
定理3.1设有n阶行列式,则
,
,即行列式D中任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和必等于零。
二、行列式的计算
行列式的计算主要有以下两种基本方法
(
1
)利用行列式性质,把原行列式化为上(下)三角行列式求值。
(
2
)利用性质,先把行列式中某一行(或某一列)的元素尽可能多的化为零,然后再按该行或列展开,把阶数逐步降下来。
例
4:计算行列式
解:方法一,化为上三角行列式
方法二
展开降阶法
由于D中第4列已有两个元素为零,利用性质5,再把一个元素化为零。
例5:计算n阶行列式
解
方法一
这个行列式的特点是每行元素的和均为,(称它为行和相同行列式),可采用以下方法求其值,先把后n-1个列都加到第1列上,提出第1列的公因数,再将后n-1个行都减去第一行。
方法二考虑到D中每一行上有很多元素为b,采用“加边法”,即造一个与D相等的n+1阶行列式。
当时,显然,不妨设
例6:计算行列式
解:方法一,直接按第一列展开
方法二
降阶法
方法三
加边法
请认真答题,测试一下你对前面知识点的学习情况! (单选题) 1.设行列式 则 D1的值为( ) A.-15 B.-6 C.6 D.15【答案】C 【解析】 【知识点】行列式的性质 请认真答题,测试一下你对前面知识点的学习情况! (单选题) 2.计算行列式=( ) A.0 B.-1 C.-24 D.24【答案】C 【解析】: 【知识点】行列式的计算 |
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