有限元理论篇介绍篇13：有限元分析单元选择（上）

高阶单元、低阶单元、完全积分、缩减积分，分别表示什么概念，各自的适用情况是什么样的，这些单元如何选择？本文以三维问题中的实体单元为例说明单元的特性以及使用情境。

本文关键词：高阶单元、低阶单元、二次单元、线性单元、完全积分、缩减积分、沙漏控制、剪切自锁、体积锁定

线性单元与二次单元

以六面体单元（Hex）为例：

当六面体单元上有8个节点时，我们称其为线性/低阶/一阶单元（如ABAQUS中的C3D8），当每条边中间多一个节点时称为二次/高阶/二次单元，包含20个节点（如C3D20），单元中间节点存在影响了形函数的阶次（详细参考有限单元法中形函数的构造）。

高阶的形函数可以在位移结果可靠基础上，得到更准确的应变和应力值（参考前面的应变矩阵和应力矩阵对位移插值得到应变和应力结果）；对于具有曲面和曲边的几何能更好拟合；且高阶单元相比低阶收敛速度更高，可通过细化网格更快的收敛于精确解，但是因为节点的增加导致了计算成本的增高，相信有过实际项目的大家也有所体会。

通常情况下为了出于计算量考虑选择低阶单元也能获得还算不错的结果。

完全积分与缩减积分

前面我们说过有限元法在单元上采用数值积分对解析积分进行处理，因此引入了积分点的概念。

有限元软件中普遍使用的是等参元，为了进行数值积分计算需要在积分点上找到被积函数的值，在单元上的积分点位置和对应的权系数因数值积分方法不同而不同，通常采用的是高斯积分，高斯积分阶数等于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称之为精确积分或完全积分。

对于上面提到的六面体单元C3D8，如果使用8个积分点，则称为线性完全积分单元，在使用完全积分的情况下，当单元尺寸不断减小时, 有限元解单调地收敛于精确解（应力奇异处除外）。但是当承受弯曲载荷时，会出现剪切自锁，造成单元过于刚硬。（图中为三维单元单一视角或平面单元示意，圆点为节点位置，x为积分点示意位置）

C3D20对应的二次完全积分单元包含27个积分点，其优点是应力计算结果很精确，且基本没有剪切自锁问题。但是用这种单元时要注意：不能用于接触分析；对于不可压缩的非线性分析，比如类橡胶类材料（要注意，这里的不可压缩指体积不可压缩，不是指压缩下不变形），容易产生体积自锁。

若线性单元只使用一个积分则被称为（线性）缩减积分，缩减积分使用更少的积分点和更简单的形函数，因此求解更有效率，并且当网格够精细时也可以获得较准确地结果，不会存在剪切自锁现象。但是只有四边形和六面体单元才能使用缩减积分，并且缩减积分还存在另人困惑的沙漏行为。

对应的在二次单元每条边方向上均减少一个积分点的单元称为二次缩减积分单元，该种单元不仅基本不存在自锁现象，而且有效减少沙漏行为的影响，但是不能用于接触分析；不能应用于大应变问题。

本次重点说了节点与积分点概念上单元类型的概念和选择，下期我们谈谈缩减积分单元的沙漏行为、完全积分单元中存在的剪切自锁、体积自锁的原因以及四面体单元相较六面体单元的优劣。