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1.短除法 十进制中的数位排列是这样的…… 万 千 百 十 个 十分 百分 千分…… R进制中的数位排列是这样的……R^4 R^3 R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3…… 可以看出相邻的数位间相差进制的一次方。 任何进制中，每个数都可以按位权展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权，再相加的形式，如： 十进制的123=1×100+2×10+3×1 十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1 问：为啥相应的数位是1000、100、10、1？为啥不是4、3、2、1？ 答：十进制，满十进一，再满十再进一，因此要想进到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10 这样我们就知道了： 对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0， 10^1, 10^2, 10^3……，也就是1、10、100、1000 对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0, 2^1, 2^2, 2^3……，也就是1、2、4、8、…… 下面我们开始转换进制（以十进制换成二进制为例）： 原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位…… 现在二进制数位变成了八位、四位、二位…… 模仿上面十进制按位权展开的方式，把二进制数1011按权展开： 1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11 接下来我们进行十进制往二进制的转换： 比较小的数，直接通过拆分就可以转换回去 比如13，我们把数位摆好八位、四位、二位，不能写十六了，因为一旦“十六”那个数位上的符号是“1”，那就表示有1个16，即便后面数位上的符号全部是“0”，把这个二进制数按权位展开后，在按照十进制的运算规律计算，得到的数也大于13了。那最多就只能包含“八”这个数位。 13-8=5，5当中有4，5-4=1 好啦，我们知道13=18+14+02+11 把“1”、“1”、“0”“1”这几个符号放到数位上去： 八位、四位、二位、一位 1 1 0 1 于是十进制数13=二进制数1101 2.递归原理 1）一个十进制数321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍数，所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数，应该放在十进制的最后一个数位“个位”，也就是说个位上的符号是1。 类比，一个二进制数111（注意，数值不等于上面十进制的111）末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1，意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数，应该放在二进制的最后一个数位“一位”，也就是说一位上的符号是1。 2）如果一个十进制数321“十位”是2，我们希望把它转换为（1）的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉，也就是减去“个位”上的1，再除以进制10，得到32。这样原来“十位”上的“2”就掉到了“个位”上。再把32做（1）的处理。 类比，如果一个二进制数111“二位”是1，我们希望把它转换为（1）的情况，那么我们把这个二进制数的末尾抹掉，也就是减去“一位”上的1，再除以进制2，得到11。这样原来“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做（1）的处理。 总结：其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。 现在你应该可以回答以下问题了：为什么短除法可以实现进制的转换呢？为什么每次要除以进制呢？为什么要把余数倒着排列呢？ R进制转换成十进制就是按权位展开，把展开式放到十进制下，再按照“十进制”的运算规律计算。因为是十进制，所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数，而可以用另外的八个符号来表示了。 十进制—>二进制 对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。
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