自然数幂方求和公式

闲来无事，想起自然数列求和公式来。

聪明如你，自然知道这就是传说中高斯他老人家在10岁的时候就倒腾出来，折服数学教师布特纳的那个公式。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777.04－1855.02）

————开始讲故事啦————

有一天，布特纳不知道是有意要训练学生们的耐心，还是讲课讲累了想抽空溜出去抽两根烟，就给学生们留了一道课堂习题，计算100以内自然数的总和。不想我们的高斯君很快就计算出正确答案，并将计算过程解释了一遍：

1+100=101，2+99=101······50+51=101。

从1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。

布特纳对高斯刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”（故事内容摘自百度百科。）

————故事结束————

细心的朋友会发现故事中高斯所采用的演绎法只适合n为偶数的情况，而实际上自然数列求和公式适用于n为任意自然数的情况，下面是比较严谨的证明。

————证明完毕————

如此轻巧地证明了自然数列求和公式，聪明如你，自然不过瘾。

辣么，你想不想挑战一下难度系数更高的自然数幂方求和公式？

上述公式摘自高等教育出版社出版的《数学手册》

采用万能的数学归纳法可以一一证明上述公式，屡试不爽。

~~~~氮素~~~~

要使用数学归纳法的前提是要知道公式。如果公式记忆错误，后果不堪设想……像上面这么复杂的公式，你懂得~~~

如何写出正确的求和公式？下面给出一种相对简单的方法

观察上述公式，可以发现一个特征：

自然数k次幂求和公式是n的k+1次有理多项式，即

知道上述结果之后，可采用待定系数法，写出常数项为0的k+1次多项式，逐一带入n=1,2，…，k，k+1共k+1种情况，解线性方程组，即可求出各项系数。

————举个栗子————

要求自然数列三次方和。可先假定求和公式为n的四次有理多项式。

由此求得自然数列三次方和公式。

————举例完毕————

使用上述方法的前提是对“自然数列k次幂方和是n的k+1次有理多项式”这个结论深信不疑。

细心如你，自然要问，这个结论有没有理论证明？

下面我们就将给出一个论证，不仅仅证明了上述结论，同时给出自然数列任意次幂和的通解公式。

肿么样？惊不惊喜？开不开森？

不仅仅证明了“自然数列k次幂方和是n的k+1次有理多项式”，同时还给出自然数列任意次幂和的通解公式！

但是这个公式本身的实用性不太好，因为得知道前（k-1）个自然数幂和公式，才可以求得新的k次幂和公式，反而不如待定系数法计算效率高。（个人见解，仁者见仁哈~~~）

最后说明一下，上述自然数列任意次幂和的通解公式又名李善兰自然数幂求和公式。

李善兰（1811年1月22日—1882年12月9日）

————人物简介————

李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，浙江海宁人，是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式，研究各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式（现称“自然数幂求和公式”），这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。

李善兰老先生勤于著书译书，可谓著作等身。

道光间 ，陆续撰成《四元解》、《麟德术解》、《弧矢启秘》、《方园阐幽》及《对数探源》等，声名大起。咸丰初完成明末徐光启、利玛窦未竟之业 。又与伟烈亚力、艾约瑟等合译《代微积拾级》、《重学》、《谈天》等多种西方数学及自然科学书籍。

咸同之际，他以《测圆海镜》为基本教材，培养人才甚多。他学通古今，融中西数学于一堂。1860年起参与洋务运动中的科技活动。

李善兰、徐寿、华蘅芳在江南制造局

李老先生的主要著作都汇集在《则古昔斋算学》内，13种24卷。其中对尖锥求积术的探讨，已初具积分思想，对三角函数（李氏三角恒等式）与对数的幂级数展开式、高阶等差级数求和（自然数幂求和公式）等题解的研究，皆达到中国传统数学的很高水平。

人物简介内容和图片均摘自百度百科

————介绍完毕————

向李善兰老先生致敬！

李老师萌萌哒~~~