双阶乘

定义 1.1. 双阶乘是定义在 N 上的函数, n!!:=k=0∏⌊2n−1​⌋​(n−2k)​

例 1.2. 6!!=2×4×6=48

命题 2.1 (递推方程). n!!=n(n−2)!!

命题 2.2 (与阶乘的关系). (2n)!!(2n−1)!!​=2nn!=2nn!(2n)!​​

根据递推方程可以将双阶乘推广到负奇数.

定义 3.1. (−2n−1)!!:=(2n−1)!!(−1)n​

同样可以使用推广阶乘的方式来推广双阶乘, 即使用Γ 函数. 需要注意的是, 双阶乘与阶乘的两个关系等式之间并不兼容, 有必要进行插值.

定义 3.2. n!!:=22n​Γ(2n​+1)(2π​)4cosnπ−1​