2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）及全部答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（　　）

A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}

2．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

3．（5分）（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）

A．32 B．﹣23 C．32 D．23

4．（5分）（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（2.65）（　　）

A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3

5．（5分）（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　　）

A．1 B． C． D．3

7．（5分）（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b，c＝﹣ln0.9，则（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

8．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）

A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（　　）

A．直线BC1与DA1所成的角为90°

B．直线BC1与CA1所成的角为90°

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

（多选）10．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　）

A．f（x）有两个极值点

B．f（x）有三个零点

C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心

D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线

（多选）11．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（　　）

A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切

C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2

（多选）12．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（2x），g（2+x）均为偶函数，则（　　）

A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2022•新高考Ⅰ）（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 　 　（用数字作答）．

14．（5分）（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 　 　．

15．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　 　．

16．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 　 　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2022•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：2．

18．（12分）（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若C，求B；

（2）求的最小值．

19．（12分）（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

20．（12分）（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：R•；

（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附：K2．

21．（12分）（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．

22．（12分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（　　）

A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}

【考点】交集及其运算

【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．

【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．

【解答】解：由4，得0≤x＜16，∴M＝{x|4}＝{x|0≤x＜16}，

由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，

∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|x＜16}．

故选：D．

【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．

2．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【考点】复数的运算

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z．

【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z，

∴z＝1+i，则，

∴．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．（5分）（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记，，则（　　）

A．32 B．﹣23 C．32 D．23

【考点】平面向量的基本定理．

【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．

【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．

【解答】解：如图，

，

∴，即．

故选：B．

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．

4．（5分）（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（2.65）（　　）

A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3

【考点】根据实际问题选择函数类型．

【专题】转化思想；数学模型法；立体几何；数学运算．

【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．

【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，

根据题意，增加的水量约为

≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．

【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．

5．（5分）（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】整体思想；数学模型法；概率与统计；数学运算．

【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．

【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，

其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，

故所求概率为．

故选：D．

【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．

6．（5分）（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　　）

A．1 B． C． D．3

【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性．

【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；数学运算．

【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．

【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx）+b（ω＞0）的最小正周期为T，

则T，由T＜π，得π，∴2＜ω＜3，

∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，

且sin（）＝0，则kπ，k∈Z．

∴，k∈Z，取k＝4，可得．

∴f（x）＝sin（x）+2，则f（）＝sin（）+2＝﹣1+2＝1．

故选：A．

【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

7．（5分）（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b，c＝﹣ln0.9，则（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

【考点】对数值大小的比较．

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．

【分析】构造函数f（x）＝lnx，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．

【解答】解：构造函数f（x）＝lnx，x＞0，

则f'（x），x＞0，

当f'（x）＝0时，x＝1，

0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，

∴，

∴ln0.9＞1，∴﹣ln0.9，∴c＜b；

∵﹣ln0.9＝ln1，∴，

∴0.1e0.1，∴a＜b；

设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），

则，

令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），

当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，

当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，

∵h（0）＝0，∴当0＜x时，h（x）＜0，

当0＜x1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，

∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，

∴c＜a＜b．

故选：C．

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

8．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）

A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．

【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h），利用导数即可求出V（h）的取值范围．

【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，

设正四棱锥的底面边长为a，高为h，

在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即，

∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，

在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，

∴，∴，

∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，

∴该正四棱锥体积V（h），

∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），

∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，

∴V（h）max＝V（4），

又∵V（），V（），且，

∴，

即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，

故选：C．

【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（　　）

A．直线BC1与DA1所成的角为90°

B．直线BC1与CA1所成的角为90°

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．

【专题】转化思想；数形结合法；空间角；数学运算．

【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．

【解答】解：如图，

连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，

可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；

∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，

∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；

设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，

∵sin∠C1BO，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；

∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．

故选：ABD．

【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．

（多选）10．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　）

A．f（x）有两个极值点

B．f（x）有三个零点

C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心

D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．

【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．

【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，

∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，

∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；

又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；

假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，

显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

（多选）11．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（　　）

A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切

C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2

【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．

【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．

【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，

∴2p＝1，解得，

∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；

由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，

联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；

根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，

，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；

，选项D正确．

故选：BCD．

【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

（多选）12．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（2x），g（2+x）均为偶函数，则（　　）

A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）

【考点】导数的运算．

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；转化法；导数的概念及应用；数学运算．

【分析】由f（2x）为偶函数，可得f（x）关于x对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x是f（x）的极值点，x也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．

【解答】解：∵f（2x）为偶函数，∴可得f（2x）＝f（2x），∴f（x）关于x对称，

令x，可得f（2）＝f（2），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；

∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；

∵f（x）关于x对称，∴x是函数f（x）的一个极值点，

∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，

又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，

∴x是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x对称，∴（，t）关于x的对称点为（，t），

由x是函数f（x）的极值点可得x是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，

进而可得g（）＝g（）＝0，故x是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x对称，

∴（，t）关于x的对称点为（，t），∴g（）＝f′（）＝0，故B正确；

f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．

故选：BC．

【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2022•新高考Ⅰ）（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 　﹣28　（用数字作答）．

【考点】二项式定理．

【专题】方程思想；转化法；二项式定理；数学运算．

【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．

【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，

当r＝6时，，当r＝5时，，

∴（1）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为．

故答案为：﹣28．

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

14．（5分）（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 　x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）　．

【考点】圆的切线方程．

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．

【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．

【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，

圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，

如图：

∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．

∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y，即3x+4y﹣4b＝0，

由，解得b（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；

由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y对称，

联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），

该点关于y的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，）．

∴，则l3：y，即7x﹣24y﹣25＝0．

∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：

x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．

故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．

【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

15．（5分）（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．

【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．

【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），

∴切线的斜率k，

∴切线方程为y﹣（x0+a）（）（x﹣x0），

又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）（）（﹣x0），

整理得：，

∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，

∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，

即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），

故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

16．（5分）（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 　13　．

【考点】直线与椭圆的综合．

【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．

【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．

【解答】解：∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，

∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，

∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，

∴△AF1F2为等边三角形，

∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，

∴，

由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，

设直线DE方程为y，D（x1，y1），E（x2，y2），

将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，

由韦达定理可得，，，

|DE|，解得c，

由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c．

故答案为：13．

【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2022•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：2．

【考点】数列与不等式的综合

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．

【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；

（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．

【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，

所以，整理得，①，

故当n≥2时，，②，

①﹣②得：，

故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，

化简得：，，........，，；

所以，

故（首项符合通项）．

所以．

证明：（2）由于，

所以，

所以．

【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

18．（12分）（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若C，求B；

（2）求的最小值．

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理

【专题】方程思想；转化法；解三角形；数学运算．

【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．

（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．

【解答】解：（1）∵，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．

∴，

化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，

∴cos（B+A）＝sinB，

∴﹣cosC＝sinB，C，

∴sinB，

∵0＜B，∴B．

（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），

∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C．

sinA＝sin（B+C）＝sin（2C）＝﹣cos2C，

4sin2C﹣5≥25＝45，当且仅当sinC时取等号．

∴的最小值为45．

【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．

【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；

（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得VV，

设A到平面A1BC的距离为d，由VV，

∴S•d，∴2•d，解得d．

（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，

∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，

∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，

由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，

∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，

以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AA1＝AB，∴BCAB2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），

则（0，2，0），（1，1，1），（2，0，0），

设平面ABD的一个法向量为（x，y，z），

则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，

∴平面ABD的一个法向量为（1，0，﹣1），

设平面BCD的一个法向量为（a，b，c），

，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，

平面BCD的一个法向量为（0，1，﹣1），

cos，，

二面角A﹣BD﹣C的正弦值为．

【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．

20．（12分）（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：R•；

（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附：K2．

【考点】独立性检验；条件概率与独立事件．

【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算；数据分析．

【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．

（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；

（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．

【解答】解：（1）补充列联表为：

计算K224＞6.635，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

（2）（i）证明：R：•••；

（ⅱ）利用调查数据，P（A|B），，P（|B）＝1﹣P（A|B），P（|）＝1﹣P（A|），

所以R6．

【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．

21．（12分）（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．

【考点】直线与双曲线的综合．

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．

【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．

【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，

化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，

由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），

则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，

故，，

，

化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，

故，

即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；

（2）不妨设直线 PA，AQ的倾斜角为 α，β（α＜β），因为 kAP+kAQ＝0，所以 α+β＝π，因为 ，所以 ，即 ，即 ，解得 ，

于是，直线 ，直线 ，

联立 可得，，

因为方程有一个根为 2，所以 ，

同理可得，．

所以 ，

点 A 到直线 PQ 的距离 ，

故△PAQ 的面积为 ．

【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．

22．（12分）（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【考点】利用导数研究函数的最值．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．

【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；

（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．

【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，

∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a，

∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y在x∈（0，+∞）上单调递增，

∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，

又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，

∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x，

∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，

∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值

∴a﹣alna＝1+lna，

∵a＞0，

∴a﹣alna＝1+lna化为lna，

令h（x）＝lnx，x＞0，

则h'（x），

∵x＞0，

∴h'（x）恒成立，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，

又h（1）＝0，

∴h（a）＝h（1），

∴a＝1．

（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），

则u′（x）＝ex﹣2ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，

所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，

所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，

所以x≥1时，f（x）＞g（x），

因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，

所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），

此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，

由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，

直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），

因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，

令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，

令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，

所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，

从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，

因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，

所以lnm，m，em成等差数列．

∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．

考点卡片

1．交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．

符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．

运算形状：

①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．

2．对数值大小的比较

【知识点归纳】

1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．

2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较

3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）

3．根据实际问题选择函数类型

【知识点的知识】

1．实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．

2．用函数模型解决实际问题

（1）数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

（2）常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．

②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．

③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．

④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．

⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．

3．函数建模

（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．

（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）

A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．

解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：

当x∈[10，1000]时，

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，

A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；

B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；

C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；

D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；

故选C

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：

（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；

（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）

分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：解：（1）由题意：3﹣x，

且当t＝0时，x＝1．

所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）

生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）

所以，y（3分）

＝16x，（t≥50）；…（2分）

（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）

所以y≤50﹣8＝42，…（1分）

答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：

（1）解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．

（2）解函数关系未知的应用题

①阅读理解题意

看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；

②抽象函数模型

在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；

③研究函数模型的性质

根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；

④得出问题的结论

根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．

4．导数的运算

【知识点的知识】

1、基本函数的导函数

①C′＝0（C为常数）

②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）

③（sinx）′＝cosx

④（cosx）′＝﹣sinx

⑤（ex）′＝ex

⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．

2、和差积商的导数

①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）

②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）

③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）

④[]′．

3、复合函数的导数

设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】

题型一：和差积商的导数

典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）

A．0 B．2014 C．2015 D．8

解：f′（x）＝acosx+3bx2，

∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2

∴f′（x）为偶函数；

f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0

∴f（2014）+f（﹣2014）

＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；

∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8

故选D．

题型二：复合函数的导数

典例2：下列式子不正确的是（　　）

A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2

C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′

解：由复合函数的求导法则

对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；

对于选项B，成立，故B正确；

对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；

对于选项D，成立，故D正确．

故选C．

【解题方法点拨】

1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．

5．利用导数研究函数的极值

【知识点的知识】

1、极值的定义：

（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；

（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：

若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有

限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．

6．利用导数研究函数的最值

【利用导数求函数的最大值与最小值】

1、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．

一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

2、用导数求函数的最值步骤：

由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．

7．利用导数研究曲线上某点切线方程

【考点描述】

利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．

【实例解析】

例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．

解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1

又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）

∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），

即y＝x﹣1．

我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．

8．数列与不等式的综合

【知识点的知识】

证明与数列求和有关的不等式基本方法：

（1）直接将数列求和后放缩；

（2）先将通项放缩后求和；

（3）先将通项放缩后求和再放缩；

（4）尝试用数学归纳法证明．

常用的放缩方法有：

，，，

[]

（n≥2），

（）（n≥2），

，

2（）2（）．

．

【解题方法点拨】

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；

（2）将分子或分母放大（或缩小）；

（3）利用基本不等式；；

（4）二项式放缩；

（5）利用常用结论；

（6）利用函数单调性．

（7）常见模型：

①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．

【典型例题分析】

题型一：等比模型

典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求证：对于n≥2，．

解答：（Ⅰ）由①，

当n≥2时，得②，

①﹣②得．

∴．

又，得a1＝7不适合上式．

综上得；

（Ⅱ）证明：当n≥2时，．

∴．

∴当n≥2时，．

题型二：裂项相消模型

典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．

分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．

（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．

解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立

∴（n≥2）②

①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）

∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列

又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）

（2）解：由（1）可知∵

∴

【解题方法点拨】

（1）放缩的方向要一致．

（2）放与缩要适度．

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．

9．平面向量的基本定理

【知识点的知识】

1、平面向量基本定理内容：

如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．

2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．

3、说明：

（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．

（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．

10．复数的运算

复数的加、减、乘、除运算法则

11．独立性检验

【知识点的知识】

1、分类变量：

如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．

一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．

其中n＝a+b+c+d（考试给出）

3、2×2列联表：

4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．

5、解题步骤：

（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；

（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；

（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．

12．古典概型及其概率计算公式

【考点归纳】

1．定义：如果一个试验具有下列特征：

（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．

则称这种随机试验的概率模型为古典概型．

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．

2．古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；

如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．

【解题技巧】

1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．

因此要注意清楚以下三个方面：

（1）本试验是否具有等可能性；

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件A是什么．

2．解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．

3．解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型．

13．条件概率与独立事件

【知识点的知识】

1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．

（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．

（3）条件概率的求法：

①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（A∩B），得P（B|A），其中P（A）＞0；

②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）

【解题方法点拨】

典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是　　．

解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，

事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），

（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，

“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：

（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，

故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P

故答案为：

典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A），能求出结果．

解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ＝0）＝（1）（1）（1），

P（ξ＝1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1），

P（ξ＝2），

P（ξ＝3），

∴随机变量ξ的分布列为：

数学期望E（ξ）＝0123．

（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，

则P（A），

P（AB），

P（B|A）．

【解题方法点拨】

1、P（B|A）的性质：

（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；

（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；

（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．

2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；

（2）区别：

a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．

b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．

14．二项式定理

【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．

例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）

解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．

故答案为：1.105．

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．

例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．

解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．

故答案为：360i．

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．

【性质】

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数

叫做二项式系数．

注意：

（1）二项展开式有n+1项；

（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；

（4）二项式定理通常有如下变形：

①

；

②

；

（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第n+1项

叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．

注意：

（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；

（2）字母b的次数和组合数的上标相同；

（3）a与b的次数之和为n．

3、二项式系数的性质．

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

；

（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．

15．三角函数的周期性

【知识点的认识】

周期性

①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．

【解题方法点拨】

1．一点提醒

求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．

2．两类点

y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．

3．求周期的三种方法

①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）

②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．

③利用图象．图象重复的x的长度．

16．正弦函数的图象

【知识点的知识】

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

17．正弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．

2、三角形常用面积公式

1．Sa•ha（ha表示边a上的高）；

2．SabsinCacsinBbcsinA．

3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素．

2、判断三角形的形状．

3、解决与面积有关的问题．

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．

（2）测量高度问题：

解题思路：

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．

点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．

18．余弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素．

2、判断三角形的形状．

3、解决与面积有关的问题．

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．

（2）测量高度问题：

解题思路：

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．

点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．

19．解三角形

【知识点的知识】

1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．

2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．

3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．

4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．

5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．

6．俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题

①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；

③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）

④S△ABC；

⑤S△ABC，（s（a+b+c））；

⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：

20．圆的切线方程

【知识点的认识】

圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．

圆的切线方程的类型：

（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程

（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．

【实例解析】

例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为　　．

解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．

①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，

∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；

②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．

∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，

∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，

因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．

综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．

这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．

例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为　　．

解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，

当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；

当过P的切线斜率存在时，设为k，

由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，

∴圆心到切线的距离d＝r，即2，

解得：k，

此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，

综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．

这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．

【考点分析】

本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．

21．抛物线的性质

【知识点的知识】

抛物线的简单性质：

22．直线与椭圆的综合

v．

23．直线与双曲线的综合

v．

24．直线与抛物线的综合

v．

25．棱柱、棱锥、棱台的体积

【知识点的知识】

柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱＝sh，V锥Sh．

26．异面直线及其所成的角

【知识点的知识】

1、异面直线所成的角：

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

27．直线与平面所成的角

【知识点的知识】

1、直线和平面所成的角，应分三种情况：

（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；

（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；

（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．

显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：

（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；

（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；

（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．

（4）答﹣﹣回答求解问题．

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：

（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．

（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．

28．二面角的平面角及求法

【知识点的知识】

1、二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．

2、二面角的平面角

在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．

3、二面角的平面角求法：

（1）定义；

（2）三垂线定理及其逆定理；

①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．

②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．

（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；

（4）平移或延长（展）线（面）法；

（5）射影公式；

（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；

（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：

设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则

（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．

（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．

29．点、线、面间的距离计算

【知识点的知识】