数学与游戏03：二阶金字塔（二）

有人说，如果没有一个面上有两个同色角块怎么办呢（如下图）？

只需任意转动一次就有了（魔方状态：A-B-A）。

二、复原角块的方向

在角块的位置复原好以后，我们需要复原四个角块的方向，目标是让金字塔魔方各个面上的三个角块颜色相同。

这里有一个规律，即“缺红块”所对的面即为红色面，以此类推。知道了这个规律，我们就可以调整角块的位置，使得同一种颜色在一个平面上。那么具体应该如何调整呢？

如果需要金字塔的角块旋转一个面（120°），可以将金字塔魔方的一条棱对着自己（如下图），然后两只手各捏住后面的一个角块，做“上上下下上上下下”。

什么意思呢？“上”表示手中的角块往上运动，此时顶部的角块（如有）向后运动；“下”则表示手中的角块往下运动，此时顶部的角块（如有）向前运动。注意这个公式必须是左手和右手交替。

如果是左手开始做，这个公式的效果就是顶部的角块逆时针旋转一个面。反之则是顺时针旋转一个面。（也可以观察顶部角块面前的颜色，如果希望左边到右边，就先做左手。反之类似。）在这8次转动的过程中，魔方的状态变化为A-B-C-E-E-E-C-B-A。

通过观察，最多旋转四次，四个角块的方向就都能复原了。如果希望降低做公式的次数，这里有一个小技巧——即尽量让最初的两个角块在两侧的颜色都相同。以左侧都是绿色为例，如果它们在右侧不同色，则将第三个含有绿色面的角块调整至左后方。

然后当绿色面在底下时，将该角块与上面的角块交换；当绿色面在背后时，与下面的角块交换；当绿色在前面时，背后一定有满足条件的另外两个角块，只需将该两个角块调整至正前方，并交换此时背后的两个角块。

下面介绍两个相关的数学问题。

1.复原角块的位置时，平均至少需要转几次？（状态由A到B，再到A，为1次）

2.复原角块的方向时，平均至少需要做几次公式？

解 析

1.在3个绿色之间，可能3个都是同方向的，也可能恰有2个是同方向的。一共有4种情况。3个都是同方向时不用转，2个同方向时至少需要转动1次，因此平均至少需要转动3/4次。

2.1个角块有2/3的概率至少要做一次公式，有1/3的概率不用做公式。因此1个角块平均需要做2/3次公式。在复原角块的方向时，各个角块之间是独立的，因此4个角块平均至少需要做8/3次公式。

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