“补码”的数学原理

摘要：本文介绍补码进行运算为什么是有效的。 通过求同“同余”将减法变成加法；而求补码就是求同余。

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. >

[+1]原 = 0000 0001 [- 1]原 = 1000 0001

正数的反码是其本身 负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

正数的补码就是其本身 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

定义1：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。

例如，当 m=12 时，3跟15是同余的，因为 3mod12=3=15mod12

对于同余，有如下结论：

我们知道计算机只有加法器，没有减法器，那么就需要将加法变成加法。怎么变？ 经过上面的介绍，我们知道，在对m取余的情况下，加上一个数，相当于加上这个数的同余，即， 若， b=a+m ，则 (x+a)modm=(x+b)modm .

举个例子: 以时钟的时针为例，因为，10 = -2 + 12。 当前时刻 t=3 ，向后拨2个小时得， (t−2)mod12=1mod12=1 ； 也就相当于向前拨10个小时， (t+10)mod12=13mod12=1 。 结论：通过同余，减法操作变成了加法操作。

我们通过证明：负数的补码和原码之和等于m，来证明求同余的过程就是求补码。

定义2： 定义m为除去符号位后，能表示的数字的个数。 例如，用8位表示整数，除去符号位，还剩7位，能表示的数字的就是000 0000~111 1111，共128个数字。所以此时 m=128.

负数的补码等于原码的符号位不变，其它位取反，再加1。 那么不看不符号位，将负数的补码和原码相加等于多少呢？ 全1再加1，就等于m！

例如，用8位表示整数-3，原码为1000 0011，补码为，1111 1101，不看符号位，将二者相加得，1000 0000 = 128.

后面我都将以用8位表示的整数运算， 3−2 为例进行分析。

由于8位除去符号位后的m等于128，那么 128−2=126 ，即 126=−2+128 ，根据上面的分析:

题外话：为什么要模128，因为我们只关注后7位，如果和大于等于128，将进位。

这样，减法就变成了加法，也可以看成，将所有含负数的运算变成了只含正数的运算。工作还没有完。

我们进行上述计算：

结果错误，这是负1的编码。

我们发现上述运算的结果正好差一个负号，怎么办？这时候就轮到符号位出场了，刚才我们说的运算都忽略了符号位，现在把它加上：

结果正确！这就叫符号位参与运算。

以上过程就是补码参与运算的过程。

计算机只能用有限的位表示整数本来是个劣势，而正是这个劣势让减法变成加法成为可能。塞翁失马焉知非福。 以上。