证明题：如果2^n

假设若 n 不是质数，即 n 可以写成两个大于 1 的正整数的乘积，可记作

n = a b \\

则 2^n-1 可写作

2^n - 1 = 2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1 \\

由 n 次方差公式[1]

x^n - 1 = \left(x-1\right) \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right) \\

可知

(2^a)^b - 1 = \left(2^a-1\right) \left[(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1\right] \\

即

\begin{align} & 2^n - 1 \\ =& (2^a)^b - 1 \\ =& \left(2^a-1\right) \left[(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1\right] \end{align} \\

由于 a 和 b 均大于 1 ，可知 2^a-1 > 1 和(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1 > 1

由此可知 2^n - 1 可以写成两个大于 1 的正整数的乘积，与题设中 2^n-1 是质数矛盾，则 n 不是质数的假设不成立，所以 n 是质数。