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2.2 数制的概念十进制和二进制的对照计算表二进制的缺点太长了难认、难记、难算进位计数制：2、8、10、16角标值域数值计算公式位讨论与思考（数位命名）：为什么对数位命名时，个位命名为D0，而不是D1？权值（又称：单位值）权值公式（单位值公式）十进制计算公式举例数值判定的方法：按权展开（当前位的数值与权值相乘），相加求和。二进制转成十进制计算公式举例总结：按权值转其他进制为十进制数十六进制转十进制举例：2.3 数制转换数制转换的三种情况：R进制转换为十进制基本思路：按权展开成多项式求和（数码乘以各自的权的累加求和）注意⚠️：这种方法适用于转换成任何进制。">练习题：问题：小数点怎么算的？十进制转换为 R进制基本思路：对转换结果进行逐位判断举例-整数部分举例-小数部分总结：练习题答案：我的问题：二、八、十六进制之间的互相转换二进制转八进制：分组二进制转十六进制八进制转二进制：拆分十六进制转二进制八进制与十六进制相互转换2、8、16进制数间的关系对照表转换总结图：作业：
2.2 数制的概念 数制：通常是指进位计数制（做加法的时候逢几进一的数制）进位计数制：就是做加法的时候逢几进一的数制。比如说：十进制：逢十进一、二进制：逢二进一。 十进制和二进制的对照计算表二进制的缺点 太长了 一个比较大的十进制，转换成二进制后占很多位。比如上表的9：一位十进制就占了4位二进制 难认、难记、难算为了让二进制短一点，引入了8、16进制。 进位计数制：2、8、10、16名词解析： 基本数符：也就是基本符号八进制的角标：O，也因为大写的“O”容易和数字“0”混淆，所以也用“Q”来表示十六进制：本应该有16个基本符号0-15的。但是10-15需要用一位来表示，所以用A-F分别表示10-15 角标二进制：B八进制：O十进制：D十六进制：H 值域3位二进制数：000~111 （2个取值）也就是表示0~7的数1位八进制数：0~7 （8个取值）因为二的3次方等于八的1次方， 所以每3位二进制数可以转换成1位八位进制数。也就是说3位二进制数和1位八进制数是可以等值转换的。同理：因为二的4次方等于十六的1次方，所以每4位二进制数可以转换为1位十六进制数。 数值计算公式怎么分辨出一个数的大小是（十进制的）多少？数值中每个数符表示的值应该等于数符本身乘以他所在位的权值。（以345.12为例，数值就是345.12，数符就是3、4、5等） 位给数值中的每一位进行命名。命名的规则是：以小数点为分割，向左分别是D0位、D1位……依次增大，向右分别是D-1位、D-2位……依次减小。给数值中的每一位起了一个唯一的名字。 讨论与思考（数位命名）：为什么对数位命名时，个位命名为D0，而不是D1？因为计算机中二进制、八进制、十六进制都是从0开始的。最小数字为0。 权值（又称：单位值）数制中某一位的单位值称为该位的权。（单位值，实际上指得就是1。比如：速度是单位时间内的里程数。单位时间指的是1小时/1秒钟。对照数学中的单位值，就是1。）如何看某一位上的权值是多少，只要往这个位上放一个1，看他表示的是多少。比如：345.12中，D2位的3表示的就是300。因为只要在D2位上放一个1，就表示100。这就是D2位的单位值、又称作D2位的权值。那么，为什么D2位的权值是100呢？这个100单位值是怎么算出来的呢？换句话说，单位值、权值是怎么算出来的呢？这就要说到权值公式了： 权值公式（单位值公式）对于r进制，其Dn的权值等于r的n次方：D**n = rn**对于10进制，其D2位的权值等于10的2次方 十进制计算公式举例以数字 321.45 为例： 位 D2 D1 D0 . D-1 D-2 求解结果 数 3 2 1 . 4 5 权值公式 102 101 100 - 10-1 10-2 权值 100 10 1 - -10 -100 解析 3*102 2*101 1*100 - 4*10-1 5*10-2 结果 3*100+ 2*10+ 1*1+ - 4*-10+ 5*-100+ 321.45D 数值判定的方法：按权展开（当前位的数值与权值相乘），相加求和。综上，多项式求和如下321.45 = 310+210+110+410+5*10 对于我们不熟悉的数，怎么计算其大小？同样用这个方法，按权展开、相加求和： 二进制转成十进制计算公式举例以数字 10111B 为例： 位 D4 D3 D2 D1 D0 求解结果 数 1 0 1 1 1 权值公式 24 23 22 21 20 权值 16 8 4 2 1 解析 1*2 0*2 1*2 1*2 1*2 结果 1*16+ 0*8+ 1*4+ 1*2+ 1*1+ 23D求解：按权展开，相加求和。多项式求和10111B结果如下（B是二进制角标，表示前边是一个二进制数）10111B = 12+02+12+12+12 = 23D （D是十进制角标，表示前面是一个十进制数）别忘了用位上的数值r 总结：按权值转其他进制为十进制数按权相乘，多项求和：按权展开每一项（数值*权值），多项之间的乘积相加求和。对任意数制中的数按权值展开成多项式求和，就是在把他转换成十进制数。 十六进制转十进制举例：16进制的「1F」转成十进制的推算： 位 D1 D0 求解结果 数 1 F 权值公式 161 160 权值结果 16 1 解析 1*161 15*160 结果 1*16+ 15*1+ 31D验证结果如下，没有问题： 2.3 数制转换在线工具：https://tool.lu/hexconvert/ （用于验证） 把一个数转换成其他计数形式。比如把2进制转换为10进制，把16进制转换为2进制等。二进制的（10111）等同于十进制的（23）只不过是一个数的不同形式之间进行转换而已。** 数制转换的三种情况： R进制转换为十进制：把非十进制数按权值展开成多项式求和即可（数值与权值相乘，多项之间相加求和。详细做法见上边第二节）计算的结果就是十进制数形式。十进制转换为R进制： 不带小数点：数值除以目标进制，得到商以后继续除以目标进制，直到商为0。然后反转得到的余数顺序后排列所有余数。带小数点：小数点左侧（整数部分）同上一条。小数点右侧（小数部分）：小数部分数值乘以目标进制取整数，直到乘积的小数位变成0。最后按照所取整数按顺序排列放到小数位。 二进制和八进制、十六进制之间的转换：3位二进制算1位八进制，4位二进制算一位十六进制。反之依然。 R进制转换为十进制贴一张看不懂的图： 基本思路：按权展开成多项式求和（数码乘以各自的权的累加求和） 注意⚠️：这种方法适用于转换成任何进制。但是因为我们求和的时候，是按照十进制的加法运算规则进行计算的。所以得到的结果是十进制。假如我们求和的时候，采用八进制运算规则求和，那么得到的结果就是八进制数。如下图： 练习题： 将以下非十进制数转换为十进制数【1011.01 B】【B7.F H】【372.6 O】 问题：小数点怎么算的？ .01转换称十进制是0.25，不知道怎么计算的额【10除以2、100除以2】.F是十六的负一次方，百度结果是0.9375，不知道怎么计算的。【先算16-1 10除以16，得到0.625，然后乘以10的负一次方（0.1）得到0.0625】答案如下： 十进制转换为 R进制 基本思路：对转换结果进行逐位判断1、先把整数部分和小数部分分别进行转换2、再把两部分的转换结果拼接起来 举例-整数部分例1、先来看一个十进制的例子：234D 转为 十进制的数根据整数部分逐位判断方法：数值除以目标进制，得到商以后继续除以目标进制，直到商为0。然后反转得到的余数顺序后排列所有余数。 如下图：234、23、2分别除以10，最终商成为0以后。按照分别除以10得到的4、3、2按照倒序排列后成为2、3、4。进行整合得到最终结果234。 例2、再来看一个二进制的例子：50.25D转为 二进制数二进制形式逐位判断的方法：整数部分：除以2取余数，直到商为0，所取余数自下向上排列小数部分：乘以2取整数，直到乘积的小数部分为0。所取整数按顺序排列 整数部分计算如下：数值除以目标进制2，得到的商一直除以2直到商为0。除以2过程中得到的余数0、1、0、0、1、1，按顺序排列后再翻转过来整合一起，得到目标二进制数：110010 举例-小数部分要想总结小数部分计算规律，先看如何分离出一个十进制纯小数的各个位。方法是：乘以目标进制10，取整数，一直到乘积的小数部分为零。例3、以0.25D为例转换为十进制：*0.25 10 = 2.5， 取整得到2。留下0.5继续0.5 * 10 = 5.0， 取整得到5，留下乘积的小数部分为0，结束。最终，2、5按顺序排列，分别放到小数位的D-1、D-2位，就是0.25D 例4、以0.25D为例转换为二进制0.25 2 = 0.5，取整得到0，留下0.5继续0.5 2 = 1.0， 取整得到1，留下乘积的小数部分为0，结束最终，0、1按顺序排列，分别放到小数位的D-1、D-2位，就是0.01B 总结：小数值乘以目标进制取整数，所取整数按照顺序排列。直到乘积的小数位为0则停止。 所以，十进制数50.25D转换为二进制数计算结果如下：整数部分：50D50 / 2 = 25 … 025 / 2 = 12 … 112 / 2 = 6 … 06 / 2 = 3 … 03 / 2 = 1 … 11 / 2 = 0 … 1 商为0，停止🤚商为0后，将余数倒叙排列：110010B小数部分：0.25D0.25 2 = 0.5 > 取整0。小数点位乘积不为零，继续0.5 2 = 1.0 > 取整1。 小数点位乘积为零，停止🤚小数点位乘积为零后，将取整的数按需排列到小数位：0.01B整数结果与小数结果拼接，得到最终结果：110010.01 B 总结：练习题 10101.101B = 21.625D（整数部分按权展开相加求和，得到21，小数部分2和2分别是0.5+0.125得到0.625）75.43O = ？DE2.1D H = ？D127D = ？B = ？O = ？H218.35D = ?B = ?O = ?H 答案：1.（10101.101）B＝（ 21.625 ）D。2.（75.43）O＝（61.546875）D3.（E2.1D）H＝（ 226.1133 ）D。4.（127）D＝（1111111）B＝（177）O＝（7F）H。5.（218.35）D＝（11011010.01011）B＝（332.26）O＝（DA.58）H。 我的问题：十进制的437转换为十六进制的数，我计算了两遍都是bb5，但是在线工具验证的是1b5，不知道我算的为啥不对。用数值一直除以16，得到三次余数分别是5、11、11，倒过来转换成十六进制后相加，得到的就是BB5啊。 二、八、十六进制之间的互相转换 二进制转八进制：分组由于，每3位二进制数就可以转换成1位八进制数。所以二进制转八进制，可以采用分组转换的规则。 整数部分：自右向左分组，3位一组小数部分：自左向右分组，3位一组分组时，位数不够，用0补足。最后把一组3位二进制数转换为1位八进制数，多个八进制数按序拼接如下图，10011010110就可以从右向左三位一组，分成10、011、010、110四组。其中最左边不够三位的，用0补足成010。 3位二进制的数，可以对应转换成0-7之间的固定数。上边分组转换后得到的八进制数分别是：2、3、2、6。按顺序从左到右整合到一起，得到最终结果就是2326O 二进制转十六进制同理：只不过是按四组为一位进行转换。10011010110进行分组后得到100、1101、0110，同样的，最左边不足4位的会被0补足为0100。4位二进制的数，其取值在0-9+A-F之间，所以，上边分组后的数据分别得到4、D、6。按照从左到右的顺序补足后，得到4D6H 八进制转二进制：拆分每1位八进制数转换为与之相等的3位二进制数。如下，将2426O转成二进制数，则可以分别将2、4、2、6转为二进制数：10、100、10、110不足三位的最高位用0补足，得到010、100、010、110然后拼接得到最终结果：010100010110（最终结果的最高位、即最左边的0可以去掉了就）去掉最高位0，得到：10100010110B 十六进制转二进制同上，把每1位十六进制数，转换成4位二进制数后，高位补0再拼合即可。最终结果再去掉最高位的多余的0。如3D6：拆分位3、D、6，分别转成二进制：11、1101、110不足4位的高位补零：0011、1101、0110最后拼合：001111010110去掉最高位的多余0，最终结果：1111010110B 八进制与十六进制相互转换八进制不能直接按位转换成十六进制，可以借助二进制过渡。（八）->（二）->（十六） 2、8、16进制数间的关系对照表 八进制 对应二进制 十六进制0-7 对应二进制 十六进制8-16 对应二进制 0 000 0 0000 8 1000 1 001 1 0001 9 1001 2 010 2 0010 A 1010 3 011 3 0011 B 1011 4 100 4 0100 C 1100 5 101 5 0101 D 1101 6 110 6 0110 E 1110 7 111 7 0111 F 1111 转换总结图：作业： 用js封装几个函数，来进行进制转换。 |
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