1/（1+X的4次方）的积分怎麽算

2023-06-26 16:47| 来源: 网络整理| 查看: 265

对于这种积分，先看分母 x^4+1=0有没有解，像本题中没有实数解于是分母必可表示为 x^4+1=(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)的形式用待定系数法可得 A=√2,C=-√2,B=D=1 然后再根据拆解分式的方法原式必可表示成： 1/(x^4+1)=(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1)+e 用待定系数法得到 a=√2/4,c=-√2/4,b=d=1/2,e=0 下面其实就好求了，利用好(lnx)'=1/x和(arctanx)'=1/(x^2+1) 比如前半个式子 ∫[(√2/4)x+1/2]/(x^2+√2x+1)]dx =(√2/8)[∫(2x+√2)/(x^2+√2x+1)dx+∫√2/(x^2+√2x+1)dx =(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)+2arctan(√2x+1)]+C 后半个式子方法相同于是最后化简可得 ∫1/(x^4+1)dx =(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)-ln(x^2-√2x+1)+2arctan(√2x+1)+2arctan(√2x-1)]+C

这道题目经常在网上被问到,我把它找来,免得我打字希望你能理解!谢谢!

参考:

1+x^4 = (1+x²)² - 2x² = (1+x²+√2x)(1+x²-√2x)1/(1+x^4) = [1/(1+x²-√2x) - 1/(1+x²+√2x)]/2√2x = 1/2√2 *[1/x + (√2-x)/(1+x²-√2x) - 1/x + (√2+x)/(1+x²+√2x)] = 1/4√2 * [(2x+2√2)/(x²+√2x+1) - (2x-2√2)/(x²+1-√2x)] = 1/4√2 *[(2x+√2)/(x²+√2x+1) - (2x-√2)/(x²+1-√2x) + √2/(x²+√2x+1) + √2/(x²+1-√2x)]对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)原式 = 1/4√2 *{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)] + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x-1)} + C

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