已知函数f(x)=2lnx+x2

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{2}{x}$+2-a，由题意可知：f′（x）≥0，根据基本不等式的性质，即可求得a的取值范围；（2）由（1）可知：f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（e）=2lne+e2-e2=2，f（x）＜f（e），即可求得不等式的解集；（3）当a＞4时，g（x）=2x2-ax+2一定有两个零点，求得函数的单调区间，由g（x1）=2x12-ax1+2=0，则f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x-a），则f（a）=2lna＞0，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．

解答 解：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2-ax，f′（x）=$\frac{2}{x}$+2-a，由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）=$\frac{2}{x}$+2-a≥0，只要（$\frac{2}{x}$+2x）min≥a，由$\frac{2}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{2}{x}×2x}$=4，当且仅当x=1时取等号，则a≤4，∴实数a的取值范围是（-∞，4]；（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2-ex，f′（x）=$\frac{2}{x}$+2-e=$\frac{2{x}^{2}-ex+2}{x}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（e）=2lne+e2-e2=2，∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），∴0＜x＜e，故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；（3）证明：由f′（x）=$\frac{2}{x}$+2-a=$\frac{2{x}^{2}-ax+2}{x}$，x∈（0，+∞），g（x）=2x2-ax+2，当a＞4时，△=a2-16＞0，∴g（x）=2x2-ax+2一定有两个零点，设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，0＜x1＜1＜x2，则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，g（x1）=2x12-ax1+2=0，∴f（x1）=2lnx1+x12-ax1=2lnx1+x12-2，由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12-ax1＜2ln1+1-2＜0，∴f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x-a），则f（a）=2lna＞0，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查转化思想，属于难题．