矩阵的秩及其求法

定义1： 设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij​)m×n​在 A A A中任取 k k k行 k k k列交叉处元素按原相对位置组成的 k k k ( 1 ≤ k ≤ m i n { m . n } ) (1\leq k\leq min\lbrace m.n \rbrace) (1≤k≤min{m.n})阶行列式，称为 A A A的一个 k k k阶子式。 m × n m\times n m×n的矩阵 A A A共有 C m k C n k C^k_mC^k_n Cmk​Cnk​个 k k k阶子式。

例如： 矩阵A的第一、二行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 D 2 ′ = ∣ 2 4 3 1 ∣ D'_2=\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1\\ \end{matrix} \right| D2′​=∣∣∣∣​23​41​∣∣∣∣​ 矩阵A的第一、三行，第一、三列相交处的元素所构成的二阶子式为 D 2 ′ ′ = ∣ 1 3 1 1 ∣ D''_2=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 1\\ \end{matrix} \right| D2′′​=∣∣∣∣​11​31​∣∣∣∣​

例如：

A = ( 1 2 3 4 1 3 4 1 1 4 1 2 ) A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎛​111​234​341​412​⎠⎞​共有 C 3 2 C 4 2 = 18 C^2_3C^2_4=18 C32​C42​=18个二阶子式，上面那两个就是其中之一。 共有 C 3 3 C 4 3 = 4 C^3_3C^3_4=4 C33​C43​=4个三阶子式。 D 3 = ∣ 1 3 4 1 4 1 1 1 2 ∣ D_3=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right| D3​=∣∣∣∣∣∣​111​341​412​∣∣∣∣∣∣​就是A的一个三阶子式。

定义2： 设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij​)m×n​，有r阶子式不为0，任何r+1子式（如果存在的话）全为0，称r为矩阵A的秩，记做R(A)或秩(A)。

例1 A = ( 1 2 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ) 求 R ( A ) \qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \qquad 求 R(A) A=⎝⎛​100​210​301​010​⎠⎞​求R(A)。

解： ∣ 1 2 3 0 1 0 0 0 1 ∣ = 1 ≠ 0 \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1\neq0 ∣∣∣∣∣∣​100​210​301​∣∣∣∣∣∣​=1​=0 存在一个三阶子式不为0，A没有四阶子式，所以 R ( A ) = 3 R(A)=3 R(A)=3。

例2 C = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 )    D = ( 1 2 5 0 3 4 0 0 0 )    E = ( 2 1 2 3 5 0 8 1 5 3 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 ) \qquad C=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \ \ D=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \ \ E=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 8 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) C=⎝⎛​100​110​001​⎠⎞​  D=⎝⎛​100​230​540​⎠⎞​  E=⎝⎜⎜⎛​2000​1800​2100​3570​5320​⎠⎟⎟⎞​

R ( C ) = 3 ， R ( D ) = 2 ， R ( E ) = 3 R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3 R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3

例3 A = ( a 1 1 1 a 1 1 1 a ) 如 果 R ( A ) < 3 ， 求 a \qquad A=\left( \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ \end{matrix} \right) 如果 R(A)